10 - Structures algébriques sur les réseaux

Summary

Premiére partie: rappels sur les réseaux

— On note E un espace euclidien de dimension n, souvent identifié à ℝⁿ par le choix d'une base orthonormee de E. La norme d'un vecteur x ∈ E est N(x) = x.x, le carré de la norme euclidienne ∥x∥. Par réseau, on entend un sous-groupe discret Λ de E de rang n. La norme de Λ est N(Λ) = min_x∈Λ,x≠0 N(x). On pose S(Λ) = {x ∈ Λ | N(x) = N(Λ)} et s(Λ) = ½|S(Λ)|. Le déterminant de A est le déterminant de la matrice de Gram d'une base de Λ (matrice des produits scalaires deux á deux des vecteurs de la base). L'invariant d'Hermite de Λ est γn(Λ) = N(Λ). det(Λ)^–1/n, et la constante d'Hermite pour la dimension n est γ n = sup_(Λ) γn(Λ).

On dit qu'un reseau Λ est entier si le produit scalaire de E est a valeurs entieres sur Λ, et qu'il est pair si ses vecteurs sont de norme paire. Le réseau dual de Λ est Λ* = {x ∈ E | ∀y ∈ Λ, x.y ∈ ℤ}. Les reseaux entiers sont les réseaux qui sont contenus dans leur dual. Ceux qui sont egaux a leur dual sont dits unimodulaires; ce sont les réseaux entiers de determinant 1.

Les réseaux que nous rencontrerons seront tous proportionnels á des réseaux entiers. Dans ce cas, il existe une plus petite norme qui les rend entiers.