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Sur la Structure Extremale de la Somme de Deux Convexes

Published online by Cambridge University Press:  20 November 2018

J. Bair
J. Bair*
Affiliation:
Université de Liège Institut de Mathématique15 Avenue Des Tilleuls 4000 LiègeBelgique
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Ces dernières années, de nombreuses recherches ont été consacrées à l’étude de la structure extrémale de la somme de deux convexes; signalons, par exemple, les travaux de Bair-Fourneau-Jongmans [3], Edelstein-Fesmire [5], Husain-Tweddle [6], Jongmans [7], Klee [8] et Roy [9]. Dans cette direction, Klee [8] a obtenu ce résultat très intéressant, qui a d’ailleurs été généralisé plus tard par Jongmans [7]: dans un espace euclidien ℝd, tout point extrême z de la somme d’un convexe fermé A et d’un convexe compact B s’écrit de façon unique comme la somme d’un point extrême xz de A et d’un point extrême yz de B; de plus, tout point extrême x de A livre un point extrême y de B tel que z = x + y soit un point extrême de A + B. Par contre, il peut exister des points extrêmes de B dont la somme avec un point extrême de A n’est jamais un point extrême de A + B; cette constatation conduit au problème: est-il possible de caractériser l’ensemble des yz?

Type
Research Article
Information
Canadian Mathematical Bulletin , Volume 22 , Issue 1 , 01 March 1979 , pp. 1 - 7
Copyright
Copyright © Canadian Mathematical Society 1979

References

Bibliographie

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4. Bair, J. and Jongmans, F., Séparation franche dans un espace vectoriel, Bull. Soc Roy. Se. Liège, 39, 1970, pp. 474-477.Google Scholar
5. Edelstein, and Fesmire, , On the extremal structure and closure of sums of convex sets, Bull. Soc. Roy. Se. Liège, 22, 1975, pp. 590-599.Google Scholar
6. Husain, and Tweddle, , On the extreme points of the sum of two compact convex sets, Math. Ann., 188, 1970, pp. 113-122.Google Scholar
7. Jongmans, F., Réflexions sur Vart de sauver la face, Bull. Soc. Roy. Se. Liège, 45, 1976, pp. 294-306.Google Scholar
8. Klee, V., Some characterizations of convex polyhedra, Acta Math. 102, 1959, pp. 79-107.Google Scholar
9. Roy, A., Facial structure of the sum of two compact convex sets, Math. Ann., 197, 1972, pp. 189-196.Google Scholar
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