6 - Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg-MacLane

Summary

The next extract contains the major part of Serre's elegant and important paper on Eilenberg-MacLane spaces. The scope and usefulness of this paper has been explained in §7. This work is perhaps one of the main sources for the idea of ‘Universal example’ or ‘epresentablefunctor’ (see also the application of the same idea to homotopy summarised in paper 7). The paper is fairly selfcontained but it leans heavily on a theorem of A. Borel. For this, see the remarks and references in §6 plus Adams chap. 2, p. 11. The student might find the paper easier if he is familiar with homology theory before reading it; but equally, reading this paper would be a good way to acquire familiarity with homology theory.

Introduction

On sait que les complexes K (Π, q) introduits par Eilenberg-MacLane dans jouent un role essentiel dans un grand nombre de questions de topologie algébrique. Le présent article est une contribution à leur étude.

En nous appuyant sur un théorème démontré par A. Borel dans sa thèse, nous déterminons les algebres de cohomologie modulo 2 de ces complexes, tout au moins lorsque le groupe Π possède un nombre fini de générateurs. Ceci fait l'objet du § 2. Dans le § 3 nous étudions le comportement asymptotique des séries de Poincaré des algèbres de cohomologie précédentes; nous en déduisons que, lorsqu'un espace X vérifie des conditions très larges (par exemple, lorsque X est un polyèdre fini, simplement connexe, d'homologie modulo 2 non triviale), il existe une infinité d'entiers i tels que le groupe d'homotopie π_i(X) contienne un sous-groupe isomorphe à Z ou à Z₂.