Mémoire sur le calcul des variations

Summary

Préliminaires. – Considérations générales.

Les premiers géomètres qui se sont occupés des problèmes dont les solutions se tirent aujourd'hui du calcul des variations, ont été conduits à examin er ce qui se passe quand on fait varier infiniment peu, non seulement diverses quantités, et les fonctions qui en dépendent, mais encore les formes mêmes de ces fonctions. Ainsi, en particulier, dans le bel Ouvrage qui a pour titre: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Euler a considéré les accroissements infiniment petits que prennent diverses fonctions d'une abscisse variable, par exemple, l'ordonnée d'une courbe et les dérivées de cette ordonnée, quand le point avec lequel coïncide l'extrémité de l'ordonnée se trouve remplacé, non par un second point de la même courbe, très voisin du premier et correspondant à une nouvelle abscisse, mais par un point correspondant à la même abscisse et situé sur une seconde courbe très voisine de la première. Ces accroissements infiniment petits d'une nouvelle espèce, distincts, sous un certain point de vue, de ceux que Leibnitz avait désignés sous le nom de différentielles, devaient être naturellement considérés comme le résultat d'un nouveau genre de différentiation. Aussi ont-ils été nommés par Euler des différentielles d'un nouveau genre (Methodus, p. 27). Euler a d'ailleurs reconnu combien il importait de ne pas représenter simultanément, à l'aide de la même notation, les nouvelles différen tielles et les différentielles ordinaires, avec lesquelles on pourrait aisément les confondre; et, pour éviter cette confusion, il a imaginé d'exprimer les différentielles ordinaires, considérées comme des accroissements infiniment petits, à l'aide de valeurs consécutives des variables et des fonctions.