This paper is devoted to the introduction of a new variant of the extendedfinite element method (Xfem) for the approximation of elastostatic fractureproblems. This variant consists in a reduced basis strategy for the definitionof the crack tip enrichment. It is particularly adapted when the asymptoticcrack-tip displacement is complex or even unknown. We give a mathematical resultof quasi-optimal a priori error estimate and some computational tests includinga comparison with some other strategies.

Les méthodes éléments-finis stochastiques de type Galerkin conduisent généralement à la résolution de problèmes de très grande taille. Les coûts de calcul et de stockage mémoire engendréslimitent encore leur utilisation à une faible dimension stochastique. Nous proposons ici une méthode d'approximation pour la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques qui tente de répondre à ces difficultés. Cette méthode peut être interprétée comme une technique de décomposition spectrale généralisée. Elle consiste à décomposer la solution sur une base réduite dont on peut prouver l'optimalité vis-à-vis de l'opérateur et du second membre du problème stochastique. Un algorithme adapté est proposé pour la construction de cette décomposition. Il nécessite uniquement la résolution d'un très faible nombre de problèmes déterministes et d'équations stochastiques.

The reduced basis element method is a new approach for approximating the solution of problems described by partial differential equations. The method takes its roots in domain decomposition methods and reduced basis discretizations. The basic idea is to first decomposethe computational domain into a series of subdomains that are deformationsof a few reference domains (or generic computational parts). Associated with each reference domain are precomputed solutions corresponding to the same governing partial differential equation,but solved for different choices of deformations of the referencesubdomains and mapped onto the reference shape.The approximation corresponding to a new shape is then taken to be a linear combination of the precomputed solutions, mappedfrom the generic computational part to the actual computational part.We extend earlier work in this direction to solve incompressible fluid flow problems governed by the steady Stokes equations. Particular focus is given to satisfying the inf-sup condition,to a posteriori error estimation, and to “gluing” the local solutions together in the multidomain case.