Quine has given a method for eliminating the bound variables in first-order predicate logic establishing thus a variable-free formulation called predicate-functor logic. The purpose of this paper is to give an autonomous and complete proof procedure for Quine's predicate-functor logic with identity, without presupposing axioms or inference rules for quantification theory or, for that matter, any other logic.

The quantifier Qm,n binds m + n variables. In the κ-interpretation M ⊨ means that there is a κ-powered proper subset X of ∣M∣ such that whenever ā ∈ mX and then M ⊨ ϕā, . If σ ∈ Lm, n has a model in the κ-interpretation does it have a model in the λ-interpretation? For σ ∈ L1, 1, κ regular and uncountable, and λ = ω1 the answer is yes.

La communauté mathématique doit être reconnaissante à Saharon Shelah pour une invention d'une ingénieuse simplicité, celle d'avoir associé à chaque structure M une structure Meq comprenant, outre les éléments de M, des “éléments imaginaires” qui sont virtuellement présents dans M. La finalité de cette construction est de pourvoir toute formule à paramètres dans M, et même dans Meq, d'un ensemble de définition minimum; tout cela est rappelé dans la première section du présent article.

On peut a priori douter de l'utilité d'une construction si innocente, dont la propriété fondamentale est pratiquement évidente; et pourtant elle a été abondamment montrée par son auteur, à qui elle a permis, dans les théorèmes de classification des modèles, une décomposition des types en éléments simples, qu'on ne voit pas dans M.

Cette construction d'un plus petit ensemble de définition pour une formule en rappelle une autre, qui est bien connue des algébristes, celle du corps de définition d'un idéal. Et comme la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique donnée élimine les quanteurs, on a le sentiment que l'adjonction d'imaginaires aux modèles de cette théorie est inutile, en un mot qu'elle “élimine les imaginaires”; pour vérifier le bien-fondé de ce sentiment, il convient d'abord de préciser ce qu'on entend par là, ce qui est fait dans la deuxième section.

The Cantor-Bendixson theorem says: For every closed set , ∣∣ ≤ ω0 ∨ ⊇ perfect (and therefore is countable or has the power of the continuum). W. H. Young proved the alternative for Gδ-sets, and Hausdorff extended it to Souslin-sets. Cantor used his ordinals to prove the theorem (I like to think he invented them for this purpose). In Hausdorff's Mengenlehre ordinals do not officially enter in either of the three proofs. You should try to put them back. It is very important never to hide away ω1 when it actually is there, and it is there when the continuum problem is the subject.

In Davis [6] you find that Cantor's alternative is equivalent to another alternative: (I wins ) ∨ (J wins ). Here means a lopsided game in which one of the players makes long moves on the game tree. So, the classical theorems can be restated as determinacy results for lopsided games, and now I make this observation: The original CB-proof “actually presents” a winning strategy. The HD-proofs do no such thing; all you know at the end is existence of a winning strategy (and Davis' remark is needed to gain this knowledge).

You understand now why I like CB-proofs, particularly for determinacy of games. They do exist also for games in which both players make short moves. Many years ago I tried to publish such a proof for determinacy of Fσ-games. The referee said it was not worth the trouble. I say you should remake this proof (it is a special case of the one presented in this paper), because it is the ideal of a determinacy proof.