Faisceaux semi-stables et systemes coherents

Summary

Sommaire

1. L'espace de modules de Simpson

2. Fibrés déterminants sur M_x(c)

3. Faisceaux semi-stables sur le plan projectif

4. Systèmes cohérents

5. Exemples et applications

Introduction

Soit X une variété projective lisse irréductible X de dimension n, munie d'un faisceau trés ample θ_x(1); considérons l'espace de modules M = M_x(r, c₁, …, c_n) des classes de S–équivalence de faisceaux semi-stables sur X, de rang r et classes de Chern c₁, …, c_n fixées dans l'anneau d'équivalence numérique Num(X). C'est une variété projective, dont on ne peut pas dire grand chose en général. Mais dans nombre de situations, on obtient une variété irréductible et normale dont on peut préciser la dimension : c'est le cas sur les courbes et sur le plan projectif; c'est encore le cas sur toute surface pourvu que la classe de Chern C₂ soit assez grande [9].

Notre principale préoccupation dans le travail présenté ici est 1'étude du groupe de Picard de ces variétés de modules. II existe une méthode efficace pour construire des fibrés inversibles sur ces variétés : c'est la notion de fibré déterminant, qui permet d'associer à certaines classes u ∈ K(X) de l'algèbre de Grothendieck un fibré inversible λ_M(u).