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Les commentaires d'al-Māhānī et d'un anonyme du Livre X des Éléments d'Euclide*

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

Marouane Ben Miled
Marouane Ben Miled
Affiliation:
Faculté des sciences, Département de mathématiques, B.P. 763, route Soukra, 3038 Sfax, Tunisie
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Abstract

This paper presents the first edition, translation and analyse of al-Māhānī’s commentary of the Book X of Euclid’s Elements (9th century, the most ancient to have reached us) and of an anonymous’ one (prior to 968, among the first algebraic commentaries). For the first time, irrational numbers are defined and classified. The algebraisation of Elements’ X-91 to 102, on the basis of al-Khwārizmī’s Algebra, shows irrational numbers as solution to algebraic quadratic equations. The algebraic calculus makes here the first steps. On this occasion, negative numbers and their calculation rules appears. Simplifications imposed by the algebraic writings are sometimes in opposition with the conclusions of propositions conceived in a purely geometrical framework, revealing a contradiction between geometrical and algebraic goals. It will be resolved by the independant way algebra will take with mathematicians belonging to the tradition of al-Karajī and al-Samaw’al from the 11th-12th centuries on.

On trouve dans cet article la première édition, traduction et analyse des commentaires du Livre X des Éléments d’al-Māhānī (IXe siècle, le plus ancien à nous être parvenu) et d’un anonyme (antérieur à 968, parmi les premiers commentaires algébriques). Pour la première fois, les nombres irrationnels y sont définis et classés. L’algébrisation des Propositions X-91 à 102 des Éléments, à partir de l’Algébre d’al-Khwārizmī, fait apparaître des nombres irrationnels comme solutions d’équations algébriques quadratiques. Le calcul algébrique fait ici ses premiers pas. À cette occasion, des nombres négatifs et les régles de calcul s’y rapportant apparaissent. Les simplifications qu’imposent l’écriture algébrique s’opposant aux conclusions de propositions conçues dans un cadre purement géométrique, une contradiction apparaît entre les objectifs algébriques et géométriques. Elle sera dépassée par la voie indépendante que prendra l’algèbre chez les mathématiciens de la tradition d’al-Karajī et al-Samaw’al à partir des XIe-XIIe siècles.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 9 , Issue 1 , March 1999 , pp. 89 - 156
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 1999

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References

1 Woepcke, F., “Essai d'une restitution de travaux perdus d'Apollonius sur les quantités irrationnelles d'après des indications tirées d'un manuscrit arabe,” Mémoires présentés par divers savants à 1'Académie des Sciences de l'Institut de France, sciences mathématiques et physiques, vol. 14 (1856), pp. 658–720.Google Scholar

2 Junge, G. et Thomson, W., The Commentary of Pappus on Book X of Euclid's Elements, Arabic text and translation (Cambridge, 1930).Google Scholar

3 Ahmad, S. et Rashed, R., al-Bāhir en algèbre d'al-Samaw'al (Damas, 1972).Google Scholar

4 Ibid., pp. 39–41.

5 Al-Khwārizmī résout quelques équations du type x2 = r. Il utilise déjà le mot summ (sourds) pour désigner les racines irrationnelles. Mais il ne donne pas la solution irrationnelle de l'équation 10x = (10 − x)2 qu'il étudie (voir Youschkevitch, A.P., Les mathématiques arabes (VIIIe-XVe siècles), trad. Cazenave, M. et Jaouiche, K. [Paris, 1976], p. 39).Google Scholar Abū Kāmil, nous dit Rashed, R., utilise des nombres irrationnels comme coefficients des équations (“L'algebre,” dans Rashed, R. (éd.), Histoire des sciences arabes, 3 vol. [Paris, 1997], vol. II, p. 36).Google Scholar

6 Diophante, , Les Arithmétiques, Tomes III et IV. Texte établi et traduit par Rashed, R. (Paris, 1984).Google Scholar

7 Voir par exemple “L'algèbre” de Rashed, R., dans Histoire des sciences arabes, vol. II.Google Scholar

8 Matvievskaya, G. P., Materialy k istorii ucheniya o chisle na srednevekovom Vostoke (= The sources on the development of the doctrine of number in the medieval Near and Middle East), dans Iz istorii tochnykh nauk na srednevekovom Blizhnem I Srednem Vostoke (=Essays on the history of exact science in the medieval Near and Middle East), [Tashkent, 1972], pp. 76–169; id., Desiataya kniga Nachal Evklida v srednevekovikh arabskikh kommentariyakh, (=The tenth book of Euclid's Elements as discussed in medieval Arab commentaries). Dans Matematika i astronomia v trudakh uchenikh srednevekovogo Vostoka (=Mathematics and astronomy in the works of medieval oriental scholars), [Tashkent, 1977], pp. 4–81; id., Niekotoriye arabskie kommentarii k desyatoi knige Nachal Evklida (=Some Arab commentaries on the tenth book of Euclid's Elements). Dans Matematika i astronomia na sredneuekovom Vostoke, (=Mathematics and astronomy in the medieval east), [Tashkent, 1978], pp. 3–87.Google Scholar

9 Matvievskaya, Niekotoriye arabskie kommentarii, pp. 13–22.Google Scholar

10 Matvievskaya, Desiataya kniga Nachal Evklida, pp. 31–8.Google Scholar

11 Ibid., pp. 51–64.

12 Ce texte a été édité à Hyderabad. Al-Rasā'il al-mutafarriqa fi al-hay'a limutaqaddimī wa mu'āsiri al-Bīrūnī (Hyderabad, 1948). Matvievskaya l'a traduit en russe à partir de cette édition. Matvievskaya, Materialy k istorii ucheniya, pp. 116–67.Google Scholar

13 Matvievskaya, G. P., “The theory of quadratic irrationals in medieval oriental mathematics,” dans King, D. A. and Saliba, G. (éd.), From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E.S. Kennedy (New York, 1987), PP. 253–77.Google Scholar

14 Les autres commentaires du Livre X des Éléments du IXe siécle sont ceux d'alJawharī et de Sind b. 'Alī. Ils sont tous les deux perdus.Google Scholar

15 Euclid, , The Thirteen Books of The Elements, trad. angl. et commentaires par Heath, T.L., 3 vol. (Cambridge, 1926), vol. IIIGoogle Scholar, ou en français Les œuvres d'Euclide, traduites littéralement par Peyrard, F. (Paris, 1966). Les versions des Éléments dont disposaient les mathématiciens des IXe-Xe siècles diffèrent certainement de l'édition de Heiberg à laquelle nous nous référons. Nous espérons que l'étude des commentaires arabes des Éléments aidera à leur reconstitution.Google Scholar

16 La Proposition X-2 présente l'antiphérèse. Elle permet de savoir si deux grandeurs sont commensurables en recherchant leur Plus Grande Commune Mesure: si l'algorithme de recherche aboutit en un nombre fini d'étapes, les grandeurs sont commensurables et l'on obtient la PGCM, sinon, elles ne le sont pas. Evidemment ce test est semi-décidable: il n'est pas praticable pour des grandeurs incommensurables, puisqu'alors il n'aboutit pas en un nombre fini d'étapes.Google Scholar

17 Il s'agit ici de théorie de même niveau que la géométrie et l'arithmétique des nombres. Autrement dit, toute théorie qui aura l'ambition de réunir géométrie et arithmétique des nombres devra utiliser un langage de niveau supérieur; ce sera le cas de l'algèbre.Google Scholar

18 Il ne s'agit pas de classes d'équivalence. Si deux droites commensurables sont dans la même classe, les éléments d'une même classe ne sont pas toujours commensurables ni même commensurables en puissance.Google Scholar

19 D'où la notion d'irrationnelles ordonnées, opposées aux irrationnelles inordonnées d'Apollonius, qu'on trouve dans le commentaire de Pappus du Livre Junge, X. et Thomson, The Commentary of Pappus on Book X of Euclid's Elements, pp. 218 et sqq.Google Scholar

20 Ce “calcul” est propre aux grandeurs: on peut ajouter deux grandeurs du même type (deux droites ou deux surfaces), on peut soustraire une plus petite d'une plus grande, on peut considérer la surface d'un rectangle comme la grandeur produit de ses côtés, et considérer la construction de “la droite qui peut un rectangle,” c'est-àdire le côté du carré, de surface égale à celle du rectangle, comme une opération géométrique d'extraction de la racine carrée d'un produit. Mais on ne peut pas ajouter un nombre à une grandeur, ni l'en soustraire. On ne peut pas, non plus, multiplier ni diviser un nombre par une grandeur et lorsqu'on multiplie, ou qu'on divise, une grandeur par un nombre, c'est en fait une droite ou une surface qu'on ajoute à elle-même ou qu'on partage. En revanche on peut considérer l'égalité entre la raison de deux nombres et celle de deux grandeurs. Une analyse serrée des démonstrations du Livre X, mais qui dépasse le cadre de cet article, montre que lorsqu' Euclide fair intervenir de cette manière des nombres dans une démonstration, c' est pour une de leurs propriétés qu'il transpose aux objets géométriques que sont les grandeurs, les nombres restant en dehors de leur domaine.Google Scholar

21 C'est un fait, qu'en essayant de pousser plus en avant, Apollonius a été amené à manipuler ce qu'il a appelé des irrationnelles “inordonnées,” par opposition aux irrationnelles “ordonnées” du Livre X (voir le commentaire de Pappus).Google Scholar

22 al-Khwārizmī, Muhammad b. Mūsā, Kitāb al-jabr wa-al-muqābala, éd. Musharrafa, M. et Ahmad, M.M. (Le Caire, 1968).Google Scholar

23 Ces six formes canoniques d'équations sont: I-Les carrés égaux aux racines: ax 2 = bx. II-Les carrés égaux à un nombre: ax 2 = c. III-Les racines égales à un nombre: ax = c. IV-Les carrés et les racines égaux à un nombre: ax 2 + bx = c. V-Les carrés et un nombre égaux aux racines: ax 2 + c = bx. VI-Les racines et un nombre égaux aux carrés: bx + c = ax 2. Al-Khwārizmī donne les solutions algorithmiques des équations canoniques et les démontre en interprétant géométriquement les termes algébriques. Le classement des six équations canoniques ne se fait pas par leur degré; elles sont classées en deux groupes, le groupe des équations à deux termes et le groupe des équations à trois termes.Google Scholar

24 Rashed, Voir R., “L'idée de l'algèbre selon al-Khwārizmī,” dans id., Entre arithmétique et algèbre (Paris, 1984), pp. 17–29Google Scholar et Youschekevitch, Les mathématiques arabes, pp. 34 et suiv.Google Scholar

25 Entre le IXe et le XIe siècles, l'algèbre recouvre quatre sens différents: – Avec al-Khwārizmī (début du IXe siècle), l'algèbre est la résolution par radicaux des équations du second degré, accompagnée de la définition de termes abstraits et d'un calcul sur ces termes permettant de décrire les équations et les algorithmes de résolution. Ici les équations abstraites représentent tant des problèmes géométriques qu'arithmétiques. – Avec la traduction, par Qustā b. Lūqā, des Arithmétiques de Diophante (fin du IXe siècle), l'algèbre est appliquée à l'arithmétique. Les termes de l'algèbre définis par al-Khwārizmī sont alors soumis aux techniques de calcul développées dans les Arithmétiques. – Avec al-Khayyām (XIe siècle), les équations algébriques sont représentées géométriquement par des courbes. Les équations de 3e degré sont ainsi résolues par l'intersection de coniques. L'algèbre est alors une algèbre géométrique. – Avec al-Karajī (XIe siècle), le calcul sur les termes de l'algèbre devient lui-même objet d'étude. L'algèbre se confond alors avec le calcul polynomial. Les termes de l'algèbre ne sont plus alors les inconnues des équations, mais les variables des expressions polynomiales. Celles-ci peuvent être à leur tour inconnues, ou connues dans le cas des quantités sourdes (voir note suivante). Ici, le texte d'al-Māhānī est algébrique dans le sens qui deviendra plus tard celui d'al-Karajī. Nous verrons plus loin que le texte anonyme, attribuable à al-Māhānī, est algébrique dans es deux sens d'al-Khwārizmī et d'al-Karajī, puisque l'auteur y utilise en plus la théorie des équations du second degré pour interpréter les Propositions X-91 à 96 (voir infra).Google Scholar

26 Il ne s'agit par de polynômes dont les termes sont des variables ou des inconnues. Ici tous les termes sont connus, même s'ils ne sont par forcément rationnels. Deux et trois siècles après, al-Karajī puis al-Samaw'al, mettront en évidence le parallèle qui existe entre les polynômes à termes variables et les polynômes à termes connus dans le calcul algébrique. En définissant les polynômes comme une suite de coefficients, us donneront des algorithmes de calcul pour le produit, la somme, la soustraction, la division et l'extraction de la racine carrée des polynômes lorsqu'elle est possible. Voir les éditions de ces textes en arabe: L'algèbre al-Badī' d'al.-Karajī, par Anbouba, A. (Beyrouth, 1964) et al-Bāhir en algèbre d'al-Samaw'al. On pourra aussi consulter le premier chapitre de Entre arithmétique et algèbreGoogle Scholar, de Rashed, R., ou encore ma thèse, en cours de rédaction, sur Les commentaires arabes du Livre X des Éléments d'Euclide (Université Paris 7, sous la direction du Prof. R. Rashed) dans laquelle je consacre un chapitre au rôle du Livre X dans la constitution de la notion de polynôme algébrique et dans l'évolution de l'algèbre du IXe au XIIe siècles.Google Scholar

27 Cette remarque suppose connue la règle (a n)m = a nm.Google Scholar

28 Euclide ne définit pas explicitement les droites rationnelles en longueur et les droites rationnelles en puissance seulement. B. Vitrac attribue ce classement des droites rationnelles aux commentateurs du Livre X, à commencer par Héron qui l'introduit dans ses Definitiones (Séminaire d'histoire des sciences de l'antiquité à l'âge classique du Centre d'histoire des sciences et des philosophies arabes et médiévaies, CNRS-Villejuif, le 22/2/97).Google Scholar

29 Si Euclide avait voulu aboutir à un classement des irrationnelles de type cubique, il aurait été amené a définir aussi comme rationnelies les droites qui sont commensurabies en puissance trois à la droite rationnelie proposée, c'est-à-dire celies qui sont l'arête d'un cube, commensurable au cube qui a pour arête la droite rationnelle proposée.Google Scholar

30 On pourrait envisager la possibilité de plus de deux classements. Mais depuis le début du texte al-Māhāni nous a habitués à un système de deux divisions chacune en deux classes ou espèces, tout le commentaire se déroulant comme un arbre binaire. De plus, avec ces deux classements l'ensemble des irrationnelles définies dans le Livre X pourra être abordé. Remarquons aussi que le commentaire d'al-Ahwāzī du Livre X des Éléments se déroule suivant un mode binaire.Google Scholar

31 Al-Ahwāzī (Xe siècle), dans son commentaire du Livre X des Éléments, parvient à justifier la nomenclature issue de ce livre en donnant deux classements numériques différents des irrationnelles: un pour les droites et un pour les surfaces, il applique ainsi aux nombres des arguments géométriques. Voici ce qu'il dit pour la droite qui peut une rationnelle et une médiale: “Quant au cinquième binôme, sa racine s'appelle celle qui peut une rationnelle et une médiale. Elle s'appelle ainsi car la surface que cette droite peut est une surface composée de deux surfaces. L'une est rationnelle et l'autre médiale. Car elle a pour côtés deux droites, l'une est simple rationnelle et l'autre composée d'une rationnelle et d'une sourde. Si on multiplie la rationnelle par la rationnelle, la surface obtenue est rationnelle, et si l'on multiplie la sourde par la sourde, la surface obtenue est médiale. On a comme exemple de cinquième apotome quatre plus racine de vingt. On lui ajoute une droite <de valeur> un, la surface qui en résulte est quatre plus racine de vingt. Elle est composée de deux surfaces, l'une est le produit de quatre par un, qui est quatre, et l'autre est le produit de racine de vingt par un, qui est racine de vingt et est médial.” (Commentaire d'al-Ahwāzī au Livre X des Éléments, version longue, paragraphe 5, Le Caire, Dār al-Kutub, MS 4527, fol. 9b).+un,+la+surface+qui+en+résulte+est+quatre+plus+racine+de+vingt.+Elle+est+composée+de+deux+surfaces,+l'une+est+le+produit+de+quatre+par+un,+qui+est+quatre,+et+l'autre+est+le+produit+de+racine+de+vingt+par+un,+qui+est+racine+de+vingt+et+est+médial.”+(Commentaire+d'al-Ahwāzī+au+Livre+X+des+Éléments,+version+longue,+paragraphe+5,+Le+Caire,+Dār+al-Kutub,+MS+4527,+fol.+9b).>Google Scholar

32 Voir, par exemple, le commentaire d'al-Ahwāzī au Livre X. Dans le paragraphe 4, réservé aux six binômes, il affirme: “[…] On trouve six classes. Chacune de ces six classes a été appelée binôme. Elles sont ordonnées […]. On sait que la commensurabilité est supérieure (afdal) à l'incommensurabilité et la rationalité est supérieure à la surdité […], c'est pour cela que l'on doit commencer par la classe de la commensurabilité.” Suit le classement des six binôrnes, dans l'ordre donné dans le Livre X (al-Ahwāzī, Commentaire du Livre X des Éléments, version longue, paragraphe 4, Le Caire, Dār al-Kutub, MS 4528, fol. 4r).Google Scholar

33 Al-Māhānī n'est pas clair sur la valeur qu'il affecte à la “droite rationnelle proposée” du Livre X. En lui affectant n'importe quel nombre entier positif, ou encore le “un” unité des nombres, comme le font Ibn ‘Isma puis al-Khāzin dans leur commentaire du Livre X (Xe siècle), et en raisonnant sur la commensurabilité, on aboutit à l'arithmétisation qu'al-Māhānī donne explicitement au début de son commentaire, et qu'utilise l'auteur anonyme dans les dernières parties du sien. Mais al-Māhānī présente les définitions de Ia rationalité et de la surdité sans recours à la commensurabilité. Son commentaire demeure donc imprécis quant aux fondements des notions qu'il introduit. Cette imprécision sera clarifiée au Xe siècle dans les commentaires d'Ibn ‘Isma et d'al-Khāzin au Livre X. Voici l'extrait du commentaire d'al-Khāzin qui nous concerne. Après avoir expliqué que la “rationnelle proposée” est une “unite” des grandeurs; “[…] puisqu'il est un, et que par son unité sont comptées les grandeurs, une fois ou plusieurs fois,” al-Khāzin donne comme exemples “la longueur du corps, que l'on mesure par une longueur donnée, comme l'empan, la coudée ou la brasse, sa surface, que l'on mesure avec le carré, qui est un multiplié par un de l'empan, de la coudée ou de la brasse et sa profondeur, que l'on mesure avec le cube, qui est un multiplié par un multiplié par un” (Commentaire d'al-Khāzin au livre X, d'après le manuscrit de la BN de Tunis, n° 16167, fol. 65, et le manuscrit de la BNF, Ar. 2467, fol. 201v). Ce résultat, à l'origine de l'unité des longueurs nécessaire à ‘Umar al-Khayyām pour l'élaboration de son algèbre géométrique, était jusqu'à présent attribué à ce dernier; Rashed, voir R. et Djebbar, A., L'œuvre algébrique d'al-Khayyām (Alep, 1981), p. 6, l. 9 sqq.Google Scholar

34 Al-Khwārizmī, al-Jabr wa-al-muqābala, p. 32.Google Scholar

35 Voir al-Samaw–6 deu texte en français.Google Scholar

36 L'auteur s'est contenté de n'algébriser, du groupe des propositions X-54 à 65 et 91 à 102, que celles concernant les apotomes (91 à 102). Sans doute est-ce parce que, algébriquement, les démonstrations de ces propositions ne diffèrent que par le traitement particulier des parties négatives, que l'auteur appelle parties “en moins”; le “calcul des binômes” pouvant se déduire facilement à partir du “calcul des apotomes.”Google Scholar

37 Abū ‘Abdallāh Muhammad b. ‘Īsā al-Māhānī. D'après M. Krause, qui se base sur les dates tirées de l'œuvre d'Ibn Yūnus des observations astronomiques qu'a menées al-Māhānī à Baghdad, il serait né aux alentours de 825 et serait mort entre 878 et 883 de l'ère chrétienne. Il aurait mené ses observations astronomiques à partir de 849 (Die Sphärik von Abū Nasr Mansūr ibn ‘Alī ibn 'Irāq. Mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, édité et introduit par Krause, M., Abhandlungen der K. Gesellschaft der Wissenschaften zü Göttingen, Phil.-hist. Kl. 17 [Berlin, 1936], p. 24).Google Scholar Nous n'avons pas d'indication sur la date de rédaction de son commentaire du Livre X des Éléments. Al-Māhānī a aussi écrit un commentaire du Livre V des Éléments, conservé sous le titre Risāla fi al-nisba (édité par Vahabzadeh, B., Trois commentaires arabes sur les concepts de rapport & de proportionnalité, Thèse de doctorat dirigé par le Prof. Rashed, R.. Université Denis Diderot-Paris 7, 1998).Google Scholar

38 Il s'agit d'une collection de textes mathématiques, dont plusieurs commentaires du Livre X et de textes qui touchent aux problématiques que peut susciter le Livre X. La première et plus importante partie de ce codex a été écrite de la main d'al-Sijzī entre 968 et 972 de l'ère chrétienne.Google Scholar

39 Explication traduit tafsīr, qui peut se traduire aussi par “interprétation” ou “éclaircissement.”Google Scholar

40 Nous ne savons pas qui est Abū al-Hasan al-Muhandis qui a fourni le texte servant de modèle et qui a corrigé la copie d'al-Sijzī. La mention Sayyidī pourrait supposer qu'il s'agit d'un de ses maitres. Cette hypothése est confirmée par l'adjectif al-Muhandis (le géomètre) qui indique qu'il s'agit d'un mathématicien. Le nom d'Abū al-Hasan est courant à cette époque et nous comptons de nombreux mathématiciens qui le portaient (dont un des fréres Banü Müsā et Thābit b. Qurra). L'étude des colophons du codex de la BNF Ar. 2457 ne fait pas apparaitre d'autres références à un Abü al-Hasan surnommé “le géomètre” qui nous permet d'arriver à une conclusion certaine concernant son identité.Google Scholar

41 Ces démonstrations concernent la Proposition VI-1 des Éléments. Elles se rattachent à des démonstrations du Livre X, mais ne s'y réfèrent pas directement. (Sezgin, voir, Geschichte des arabischen schrifttums, Band V [Leiden, 1974], pp. 388–9)Google Scholar ou celui d'al-Nayrīzī, traduit par de Cremone, G. (édité par M. Curtze dans Euclidis Opera Omnia, supplementum [Leipzig, 1899]). D'autres enfin sont pour l'instant perdus comme ceux d'al-Arjani ou d'al-Antākī.Google Scholar

42 Rashed et Djebbar, L'œuvre algébrique d'al-Khayyām, p. 11, l. 15 et sqq.Google Scholar

43 Ibid., p. 83, 1. 10 et sqq.

44 Voir Rashed, “L'algèbre,” dans Histoire des sciences arabes, p. 37, l. 4 et sqq.Google Scholar

45 Commentaires d'Ibn ‘Isma, d'al-Khāzin, d'al-Ahwāzī voir à ce sujet ma thèse de doctorat à paraître, citée n. 26. Il existe d'autres commentaires arabes du Livre X, datant du Xe siècle, mais que je n'ai pas encore eu le loisir d'étudier. Certains nous sont parvenus comme ceux de Yuhannā b. Yūsuf et d'al-Hāshimī. D'autres encore ne nous sont parvenus que dans une traduction latine comme celui attribuable à al-RāzīGoogle Scholar

46 Lorsque j'ai commencé l'édition de ce texte en 95, j'avais l'espoir de trouver une autre copie pour le compléter. J'ai mené des recherches dans les bibliotheques d'Istanbul, du Caire, de Tunis, de Téhéran et de Meshed, ainsi que dans les catalogues de nombreuses autres bibliothèques. Je suis revenu de ces voyages sans la copie qui m'avait fait courir, mais avec une collection importante de microfilms de textes mathématiques, dont la quasi-totalité des commentaires arabes au Livre X des Éléments. On pourra trouver un résumé, ou une édition, de chacun de ces textes dans ma thèse “Les commentaires arabes du Livre X des Éléments d'Euclide.”Google Scholar

47 Les commentaires arabes du Livre X des Éléments, autres que celui d'al-Māhānī, et antérieurs au Xe siècle, sur lesquels nous avons des informations sont: Celui d'al-'Abbās b. Sa'īd al-Jawharī (IIIes. H./IXe s. J.-C.), qui, d'après Ibn al-Nadīm, a rédigé un commentaire de tous les Livres des Éléments. Seul celui du Livre V nous est parvenu. AI-Jawharī y traite de la Proposition X-1, en même temps que de la théorie des proportions: Ziyādāt fi al-maqāla al-khāmisa min kitāb Uqlīdis (Ajouts au Cinquième Livre de l'ouvrage d'Euclide), Feyzullah 1359/4, fol. 239b-240b; Téhéran, Danishkada i Adab g° 284/1, 2 fol.; Tunis, Ahmadiyya 5482/2, fol. 62b/63a; Hyderabad, Osman Un. Bibl. A 510, 2 fol. Celui d'Abū al-Tayyib Sind b. ‘Alī al-Yahūdī (première moitié du IIIe siècle H./IXe siècle J.-C.): Kitāb al-munfasilāt wa-al-mutawasstāt (Livre des apotomes et des médiales). Il est cité par Ibn al-Nadīm, mais demeure pour l'instant perdu. Reste un anonyme antérieur à 968, date de sa plus ancienne copie à nous être parvenue, mais qui n'est pas daté: Risāla fi ma'nā al-maqāla al-“āshira (Épître sur la signification du Livre X), Paris, BN Ar. 2457/7, fol. 43–48 (358 H.); Aya Sofya 2742/3, 12 fol. (indiqué à tort comme étant de Pappus dana Sezgin et Krause). Ce texte appartient à la même tradition que celui d'al-Māhānī. Les grandeurs irrationnelles sont traitées au moyen des nombres irrationnels avec les outils de l'algèbre. Dans les formulations, l'auteur utilise tant le langage de la géométrie que celui de l'algèbre.Google Scholar

48 Il est possible qu'une arithmétisation des grandeurs continues ait été tentée plustôt, sans recours à l'algèbre. Mais conçue sans la théorie des équations d'al-Khwārizmī, elle serait restée stérile, les nombres irrationnels obtenus ne se prêtant pas aux démonstrations purement géométriques et l'arithmétique des nombres qui leur est applicable restant très limitée. La géométrie était done le seul outil efficace pour une théorie du continu.Google Scholar

49 Une étude poussée des calculs issus de l'interprétation algébrique, par les cornmentateurs arabes, des travaux géométriques de l'antiquité, est encore à faire. Elle nous éclairerait sur le sens de la preuve algébrique qui, contrairernent à la démonstration géométrique, n'a pas reposé sur une axiomatique avant le tournant du XXe siècle.Google Scholar

50 Il s'agit des racines n-ièmes.Google Scholar

51 Il faut comprendre “soustraction dont le résultat est strictement positif.”Google Scholar

52 Dimension traduit ici ‘izam, qu'on peut aussi traduire par grandeur.Google Scholar

53 Euclide n'a abordé que les droites se construisant à partir de deux noms, qu'al-Māhānī appelle plans. C'est en fait Apollonius qui, d'aprés Pappus, a abordé les irrationnelles qu'al-Māhānī appelle solides et les droites planes ou solides, se construisant à partir d'un nombre quelconque de noms.Google Scholar

54 Liée traduit muttasila et déliée traduit munfasila. Ce sont les memes mots que pour continu et discontinu. Par liée il faut comprendre qu'on a collé deux ou plusieurs segments de droites, et par déliée il faut comprendre qu'on ôte un segment de droite d'un autre plus grand, après Ten avoir détach´.Google Scholar

55 Liaison traduit ici ittisīl.Google Scholar

56 Le texte s'interrompt ici. Les lignes 4 à 14 présentent deux demonstrations géométriques sans lien direct avec le texte précédent, ni le suivant: le dernier chapitre d'un commentaire du Livre X qui commence à la ligne 15. Je propose ici une reconstitution de la suite immédiate du commentaire d'al-Māhānī. Je n'en garantis pas les valeurs numeriques des exemples, ni la forme précise des phrases. Uniquement le sens et la forme générate sont à retenir comme des hypothéses en espérant retrouver un jour le texte complet d'al-Māhānī. Le but essentiel de cette reconstitution est de rétablir la coherence des deux parties qui nous sont parvenues.Google Scholar

57 Voir la note 30 et le corps du texte qui s'y rapporte.Google Scholar

58 Résidu traduit ici infisāl.Google Scholar

59 Cette nomenclature est tirée du chapitre suivant sur le calcul des racines des apotomes.Google Scholar

60 Fin de la reconstitution.Google Scholar

61 Texte anonyme. Sans doute la suite et fin du texte précédent d'al-Māhānī.Google Scholar

62 En arabe: al-qiyās, qui signifie tout à la fois I'analogie, le raisonnement et la règle.Google Scholar

63 L'an 968 de l'ère chrétienne.Google Scholar