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Convexité, complête monotonie et inégalités sur les fonctions zêta et gamma, sur les fonctions des opérateurs de Baskakov et sur des fonctions arithmétiques

Published online by Cambridge University Press:  20 November 2018

G. Bastien  and
M. Rogalski
G. Bastien
Affiliation:
Institut de Mathématiques de Jussieu, (CNRS et Universités Paris VI, et Paris VII) Equipe d'analyse, Université Pierre et Marie, Curie-Paris 6, Case 186, 4 place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France, e-mail: bastien@ccr.jussieu.fr
M. Rogalski
Affiliation:
Institut Mathématiques de Jussieu et UMR AGAT (CNRS et Université de Lille 1), USTL, 59655 Villeneuve d'Ascq, France, e-mail: mro@ccr.jussieu.fr
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Résumé

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Nous prouvons un encadrement optimal pour la quantité $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ pour $x\,\ge \,0$ et $s\,>\,1$, qui améliore l'encadrement standard par des intégrales. Cet encadrement entraîne des inégalités sur la fonction $\zeta $ de Riemann, et amène à conjecturer la monotonie de la fonction $s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$. On donne des applications à l'étude de la convexité de fonctions liées à la fonction $\Gamma $ d'Euler et à la majoration optimale des fonctions élémentaires intervenant dans les opérateurs de Baskakov. Puis, nous étendons aux fonctions complètement monotones sur ]$0,\,+\infty $[ les résultats établis pour la fonction $x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$, et nous en déduisons des preuves élémentaires du comportement, quand $z$ tend vers 1, des séries génératrices de certaines fonctions arithmétiques. Enfin, nous prouvons qu'une partie du résultat se généralise à une classe de fonctions convexes positives décroissantes.

Abstract

Abstract

We give optimal upper and lower bounds for the function $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ for $x\,\ge \,0$ and $s\,>\,1$. These bounds improve the standard inequalities with integrals. We deduce from them inequalities about Riemann's $\zeta $ function, and we give a conjecture about the monotonicity of the function $s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$. Some applications concern the convexity of functions related to Euler's $\Gamma $ function and optimal majorization of elementary functions of Baskakov's operators. Then, the result proved for the function $x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$ is extended to completely monotonic functions. This leads to easy evaluation of the order of the generating series of some arithmetical functions when $z$ tends to 1. The last part is concerned with the class of non negative decreasing convex functions on ]$0,\,+\infty $[, integrable at infinity.

Keywords

26A5126D15arithmetical functionsBaskakov's operatorscompletely monotonic functionsconvex functionsinequalitiesgamma functionzeta function
Type
Research Article
Information
Canadian Journal of Mathematics , Volume 54 , Issue 5 , 01 October 2002 , pp. 916 - 944
Copyright
Copyright © Canadian Mathematical Society 2002

References

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