Sur la lissité du schéma Quot ponctuel emboîté

Abstract

Dans cet article on caractérise la lissité du schéma Quot ponctuel emboîté d’une variété lisse—c’est-à-dire l’espace de modules paramétrant les drapeaux de quotients de dimension $0$ d’un faisceau localement libre fixé. Nos résultats étendent la classification de Cheah dans le cadre des schémas de Hilbert ponctuels emboîtés.

0 Introduction

Soit X une variété lisse et quasi-projective de dimension m, définie sur le corps ${\mathbb {C}}$ . Soit E un faisceau localement libre de rang r au dessus de X. Pour un entier fixé $d>0$ et un d-uplet $\boldsymbol {n} = (0\leq n_1 \leq \cdots \leq n_d)$ d’entiers non-décroissant, on considère le schéma Quot ponctuel emboîté

$$ \begin{align*} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}) = \bigl\{\bigl[E \twoheadrightarrow T_d \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_1\bigr]\big|\dim(T_i) = 0,\,\chi(T_i) = n_i\bigr\}, \end{align*} $$

où la dimension d’un faisceau cohérent T est, par définition, la dimension de son support.

Dans cet article on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que le schéma $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ soit lisse. Quand $d=1$ on retrouve le schéma Quot de Grothendieck et par abus on remplace l’écriture $\boldsymbol {n} = (0\leq n)$ par l’entier $n \in {\mathbb {N}}$ correspondant. Sans que cela impacte la généralité de notre propos, on suppose au cours du théorème suivant que $\boldsymbol {n}$ est de la forme $\boldsymbol {n} = (0<n_1<\cdots <n_d)$ .

Théorème A Soit $(X,E,\boldsymbol {n})$ comme ci-dessus. Alors $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ est lisse dans les cas suivants:

1. (1) Si $m=1$ , pour tout choix de $(E,d,\boldsymbol {n})$ ,

2. (2) si $d=1$ et $n=1$ ,

3. (3) si $r=1$ , dans les cas suivants:

   1. (a) $m=2,d=1$ , pour tout choix de n,

   2. (b) $m=d=2$ et $\boldsymbol {n}=(n,n+1)$ ,

   3. (c) $m\geq 3,d=1$ et $n\leq 3$ ,

   4. (d) $m\geq 3,d=2$ et $\boldsymbol {n}=(1,2),(2,3)$ .

Dans tous les autres cas, $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ est singulier.

On va démontrer le Théorème A de la façon suivante: on se ramène d’abord au cas $(X,E) = ({\mathbb {A}}^m,{\mathscr O}^{\oplus r})$ , on généralise ensuite la classification de Cheah [3] pour $r=1$ (listant tous les schémas de Hilbert ponctuels emboîtés lisses) au rang r arbitraire; enfin on exclut toutes les exceptions à priori possibles, en produisant explicitement des points singuliers.

On remarque ici que dans le cas $d=r=1$ , correspondant au schéma de Hilbert de n points $\operatorname {\mathrm {Hilb}}^n(X)$ , il est connu que la lissité s’obtient si et seulement si $m\leq 2$ ou bien $n\leq 3$ . Si $r>1$ , le schéma Quot de Grothendieck $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X({\mathscr O}^{\oplus r},n)$ est lisse si X est une courbe lisse, par contre il est singulier (mais irréductible, de dimension $n(r+1)$ , voir [4] et [2, Example 3.3]) si X est une surface.

La cohomologie de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ a été étudiée en détail par Mochizuki [5] lorsque X est une courbe lisse; dans ce cas-là, le motif $[\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})] \in K_0(\operatorname {\mathrm {Var}}_{{\mathbb {C}}})$ de ce schéma a été calculé explicitement dans notre article [6].

1 Propriétés de l’espace de modules

On fixe, avec les notations précédentes, un triplet $(X,E,\boldsymbol {n})$ formé d’un faisceau localement libre E au dessus d’une variété lisse X, et un d-uplet d’entiers $\boldsymbol {n} = (0\leq n_1\leq \cdots \leq n_d)$ pour un entier $d>0$ . On rappelle que l’on utilise la notation $m=\dim X$ et $r=\operatorname {\mathrm {rg}} E$ . On remarque aussi que, si $n_d=1$ , le schéma $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ est isomorphe à ${\mathbb {P}}(E)$ , et notamment est lisse de dimension $m+r-1$ . Ce fait sera exploité dans la Section 1.3.

1.1 Espace tangent

Comme démontré en [6, Proposition 2.1], on peut décrire l’espace tangent du schéma $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ en un point $z = [E \twoheadrightarrow T_d \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_1]$ comme le noyau d’une application ${\mathbb {C}}$ -linéaire appropriée,

$$ \begin{align*} T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E, \boldsymbol{n})=\ker\left(\bigoplus_{i=1}^d\operatorname{Hom}(K_i, T_i)\xrightarrow{\Delta_z} \bigoplus_{i=1}^{d-1}\operatorname{Hom}(K_{i+1}, T_{i})\right), \end{align*} $$

où l’on pose $K_i = \ker (E \twoheadrightarrow T_i)$ . On omet la définition précise de $\Delta _z$ . On n’en fera pas usage dans nos preuves (le lecteur pourra en trouver une définition dans [6, Section 2] ou encore, sous une forme équivalente, dans [5]).

1.2 Le morphisme somme directe

Supposons que l’on ait une décomposition $\boldsymbol {n} = \boldsymbol {n}_1+\cdots +\boldsymbol {n}_s$ , où tous les $\boldsymbol {n}_k = (n_{k1}\leq \cdots \leq n_{kd})$ sont des suites non-décroissantes d’entiers non-négatifs «plus petites» que $\boldsymbol {n}$ . La notation «somme» ci-dessus signifie bien-sûr que $n_i = \sum _{1\leq k\leq s} n_{ki}$ pour tout $i=1,\ldots ,d$ . Considérons l’ouvert

$$ \begin{align*} U \hookrightarrow \prod_{1\leq k\leq s} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}_k), \end{align*} $$

paramétrant les s-uplets de quotients emboîtés

$$ \begin{align*} z_k = \bigl[ E \twoheadrightarrow T_{kd} \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_{k1} \bigr] \in \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}_k),\qquad k=1,\ldots,s, \end{align*} $$

tels que le support de $T_{kd}$ soit disjoint du support de $T_{ld}$ pour tout $1\leq k\neq l\leq s$ . Alors on a un morphisme de schémas

qui associe à un s-uplet $(z_1,\ldots ,z_s)$ le point

$$ \begin{align*} \bigl[E \twoheadrightarrow T_{1d}\oplus \cdots \oplus T_{sd} \twoheadrightarrow \cdots \twoheadrightarrow T_{11}\oplus \cdots \oplus T_{s1} \bigr] \in \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}). \end{align*} $$

Une application immédiate du critère infinitésimal montre que ce morphisme est étale.

1.3 Dimension attendue

Fixons $\boldsymbol {n}=(n_1\leq \dots \leq n_d)$ et une décomposition $\boldsymbol {n} = \sum _{k=1}^{n_d} \boldsymbol {n}_k,$ où tout $\boldsymbol {n}_k = (n_{k1}\leq \cdots \leq n_{kd})$ satisfait à la condition $n_{kd} = 1$ . Dans le produit

$$ \begin{align*} \prod_{k=1}^{n_d} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}_k) \cong {\mathbb{P}}(E)^{n_d}, \end{align*} $$

on considère le sous-schéma ouvert $U_{\boldsymbol {n}}$ paramétrant les $n_d$ -uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. L’ouvert $U_{\boldsymbol {n}}$ est lisse de dimension $n_d(m+r-1)$ . Comme $U_{\boldsymbol {n}}$ est étale au dessus de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ , à travers le morphisme somme directe, on peut définir la dimension attendue

$$ \begin{align*} \mathrm{expdim} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}) = n_d(m+r-1). \end{align*} $$

En effet, $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ contient un ouvert lisse (l’image de $U_{\boldsymbol {n}}$ ) de cette dimension. Dans le cas du schéma de Hilbert de n points $\operatorname {\mathrm {Hilb}}^n(X)$ , l’image de $U_n$ paramètre les n-uplets de points distincts (à permutation près). Sa dimension est bien $n\cdot \dim (X)$ . Ce nombre est la dimension de $\operatorname {\mathrm {Hilb}}^n(X)$ lorsqu’il est irréductible, car la clôture de Zariski de cet ouvert-là, que l’on appelle la smoothable component, est toujours une composante irréductible.

1.4 Connexité

Si X est irréductible, le schéma $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ est connexe [6, Theorem. 1.4]. Alors, si l’on trouve un point $z \in \operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ tel que

$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_z \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n})> \mathrm{expdim} \operatorname{\mathrm{Quot}}_X(E,\boldsymbol{n}) = n_d (m+r-1), \end{align*} $$

il en résulte que z est forcément un point singulier de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ .

2 Démonstration du théorème

Nous allons réduire notre analyse sur l’existence des singularités dans le cas «global» $(X,E)$ à la même analyse dans le cas «local» $({\mathbb {A}}^m,{\mathscr O}^{\oplus r})$ .

Lemme 2.1 Soit X une variété lisse et quasi-projective de dimension m sur ${\mathbb {C}}$ , et soit E un faisceau localement libre de rang r au dessus de X. Alors $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ est lisse si et seulement si $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$ est lisse.

Démonstration L’énoncé résulte du fait que $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,\boldsymbol {n})$ est localement une carte étale pour $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$ . On détaille ce fait dans la suite.

Considérons d’abord le cas $d=1$ . Soit $U\subset X$ une sous-variété ouverte tel que $E|_U = {\mathscr O}_U^{\oplus r}$ . Supposons que l’on ait un morphisme étale $\varphi \colon U \to {\mathbb {A}}^m$ . Si l’on écrit $V^{\varphi }_{r,n}$ pour le sous-schéma ouvert de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_U({\mathscr O}_U^{\oplus r},n)$ paramétrant les quotients $[{\mathscr O}_U^{\oplus r} \twoheadrightarrow T]$ tels que $\varphi |_{\operatorname {Supp}(T)}$ soit injectif, on peut bien définir un morphisme étale [1, Proposition A.3]

$$ \begin{align*} \Phi_{n}\colon V_{r,n}^\varphi \to \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}_{{\mathbb{A}}^m}^{\oplus r},n) \end{align*} $$

en associant $[{\mathscr O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow T] \mapsto [E \to \varphi _\ast \varphi ^\ast E = \varphi _\ast {\mathscr O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow \varphi _\ast T]$ . En variant $(U,\varphi \colon U \to {\mathbb {A}}^m)$ pour couvrir ${\mathbb {A}}^m$ tout entier, on peut facilement confirmer le résultat dans le cas $d=1$ .

Pour le cas général, fixons $\boldsymbol {n} = (0<n_1\leq \cdots \leq n_d)$ et $(U,\varphi )$ comme ci-dessus. Le produit des morphismes étales $\Phi _{n_i}$ nous donne un morphisme étale $\Phi _{\boldsymbol {n}}$ qui apparaît dans un diagramme

où les flèches horizontales sont des immersions fermées.

On peut facilement verifier que $Z_{\boldsymbol {n}}^{\varphi }$ est aussi l’intersection schématique

dans un produit de schémas Quot classiques; comme $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{U}({\mathscr O}_U^{\oplus r},\boldsymbol {n})\subset \operatorname {\mathrm {Quot}}_{X}(E,\boldsymbol {n})$ est ouvert, on a trouvé un sous-schéma ouvert $Z_{\boldsymbol {n}}^{\varphi } \subset \operatorname {\mathrm {Quot}}_{X}(E,\boldsymbol {n})$ qui admet un morphisme étale vers $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}_{{\mathbb {A}}^m},\boldsymbol {n})$ . En faisant varier $(U,\varphi \colon U \to {\mathbb {A}}^m)$ tout comme dans le cas $d=1$ on obtient le résultat.□

On aborde désormais la démonstration de notre résultat principal.

Démonstration du Théorème A . Grâce au Lemme 2.1 on peut supposer que $(X,E)=({\mathbb {A}}^m, {\mathscr O}^{\oplus r}_{{\mathbb {A}}^{m}})$ . La lissité dans le cas $m=1$ , voir (1), est démontrée dans notre article [6, Proposition 2.1] et dans [5, Proposition 2.1]. La lissité dans les cas (3a)–(3d) a été démontrée par Cheah [3, Theorem, p. 43]. Enfin, (2) découle de l’isomorphisme $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}, 1)\cong {\mathbb {A}}^{m}\times {\mathbb {P}}^{r-1}$ (voir aussi Remarque 2.2). Il reste à prouver qu’il n’existe pas d’autres schémas Quot ponctuels emboîtés lisses.

On note que si $\operatorname {\mathrm {Hilb}}^{\boldsymbol {n}}({\mathbb {A}}^m) = \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O},\boldsymbol {n})$ est singulier, alors il en est de même de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$ pour tout $r>1$ . En effet, le tore ${\mathbb {G}}_m^r$ opère canoniquement sur $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$ , et $\operatorname {\mathrm {Hilb}}^{\boldsymbol {n}}({\mathbb {A}}^m)$ est une composante connexe du sous-schéma des points fixes [6, Proposition 3.1].

Comme Cheah a démontré que $\operatorname {\mathrm {Hilb}}^{\boldsymbol {n}}({\mathbb {A}}^m)$ est singulier chaque fois qu’il ne tombe pas dans les cas (1),(2),(3a)–(3d), on déduit que, si $r>1$ , le schéma $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$ est singulier dans les cas suivants:

1. (1) si $d\geq 3$ , pour tout choix de $\boldsymbol {n}$ ,

2. (2) si $m=2$ , $d=2$ , $\boldsymbol {n}=(n, n')$ et $n'-n\geq 2$ ,

3. (3) si $m\geq 3$ , $d=1$ , $n\geq 4$ ,

4. (4) si $m\geq 3$ , $d=2$ , $\boldsymbol {n}\neq (1,2),(2,3)$ .

Il ne reste plus qu’à démontrer que $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},\boldsymbol {n})$ est singulier dans les cas suivants:

1. (A) si $m\geq 2$ , $r\geq 2$ , $d=1$ et $n\geq 2$ ,

2. (B) si $m\geq 2$ , $r\geq 2$ , $d=2$ et $\boldsymbol {n}=(n,n+1)$ .

Le cas (A) (resp. (B)) est l’énoncé du Lemme 2.3 (resp. Lemme 2.4). □

Remarque 2.2 Soit E un faisceau cohérent au dessus d’une variété X. L’isomorphisme $\operatorname {\mathrm {Quot}}_X(E,1) = {\mathbb {P}}(E)$ s’obtient en comparant les foncteurs de modules. En revanche, le cas $(X,E) = ({\mathbb {A}}^m,{\mathscr O}^{\oplus r})$ , qui entraîne $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},1) = {\mathbb {A}}^m \times {\mathbb {P}}^{r-1}$ , s’obtient également à travers une présentation explicite du schéma $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n)$ en tant que sous-schéma fermé du schéma Quot non-commutatif

$$ \begin{align*} \operatorname{\mathrm{ncQuot}}_m^{n,r} = \bigg\{ (A_1,\ldots,A_m,v_1,\ldots,v_r) \in \operatorname{End}_{{\mathbb{C}}}({\mathbb{C}}^n)^m \times ({\mathbb{C}}^n)^r \bigg| \begin{array}{c} (v_1,\ldots,v_r)\textrm{ est } \\ (A_1,\ldots,A_m)\textrm{-stable} \end{array}\bigg\}\Bigg{/}\operatorname{\mathrm{GL}}_n, \end{align*} $$

où $\operatorname {\mathrm {GL}}_n$ opère par conjugaison sur les endomorphismes et par multiplication à gauche sur les vecteurs; enfin, la condition de stabilité se lit de la façon suivante: le sous-espace de ${\mathbb {C}}^n$ engendré par les vecteurs obtenus en appliquant tous les monômes possibles en $A_1,\ldots ,A_m$ au vecteurs $v_1,\ldots ,v_r$ coïncide avec ${\mathbb {C}}^n$ tout entier. On voit facilement que la variété $\operatorname {\mathrm {ncQuot}}_m^{n,r}$ est lisse de dimension $(m-1)n^2+rn$ . Au cas où $n=1$ , l’immersion (qui dans le cas général est définie par les relations $[A_i,A_j] = 0$ ) est triviale, et l’action de $\operatorname {\mathrm {GL}}_1$ est aussi triviale sauf sur les r-uplets de nombres complexes $(v_1,\ldots ,v_r) \in {\mathbb {C}}^r$ , qui ne peuvent pas être tous $0$ grâce à la condition de stabilité. Ceci fournit une démonstration directe de la décomposition $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},1) = {\mathbb {A}}^m \times {\mathbb {P}}^{r-1}$ .

Pour compléter la démonstration du Théorème A il nous reste à traiter les cas (A) et (B).

Lemme 2.3 Soit $m\geq 2, r\geq 2,n\geq 2$ . Alors $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}, n)$ est singulier.

Démonstration Nous commençons par démontrer l’énoncé dans le cas $n=2$ .

Considérons un point $z \in \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2)$ représenté par une suite exacte

$$ \begin{align*} 0 \to \mathfrak m_0^{\oplus 2} \oplus {\mathscr O}^{\oplus r - 2} \to {\mathscr O}^{\oplus r} \to {\mathscr O}_0^{\oplus 2} \to 0, \end{align*} $$

où $\mathfrak m_0 = (x_1,\ldots ,x_m) \subset {\mathscr O} = {\mathbb {C}}[x_1,\ldots ,x_m]$ est l’idéal de l’origine $0 \in {\mathbb {A}}^m$ et ${\mathscr O}_0 = {\mathscr O}/\mathfrak m_0$ est son faisceau structural. On obtient

$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2) &= \dim_{{\mathbb{C}}}\operatorname{Hom}_{{\mathscr O}}(\mathfrak m_0^{\oplus 2} \oplus {\mathscr O}^{\oplus r - 2},{\mathscr O}_0^{\oplus 2}) \\ &=\dim_{{\mathbb{C}}}\operatorname{Hom}_{{\mathscr O}}(\mathfrak m_0^{\oplus 2},{\mathscr O}_0^{\oplus 2}) + \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{{\mathscr O}}({\mathscr O}^{\oplus r - 2},{\mathscr O}_0)^{\oplus 2} \\ &=4 m + 2 (r-2), \end{align*} $$

qui est plus grand que $\mathrm {expdim\, } \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2) = 2(m+r-1)$ comme $m\geq 2$ . En exploitant la connexité du schéma Quot (voir la Section 1.4), le calcul ci-dessus montre que z est bien un point singulier.

On suppose désormais que $n\geq 3$ . Considérons le sous-schéma ouvert

$$ \begin{align*} U \hookrightarrow \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},2) \times \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},1)^{n-2}, \end{align*} $$

paramétrant les $(n-1)$ -uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. Choisissons un point $u \in U$ de la forme $u = (\mathfrak m_0^{\oplus 2} \oplus {\mathscr O}^{\oplus r - 2},\mathfrak m_{p_1}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1},\ldots ,\mathfrak m_{p_{n-2}}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1})$ , où $0\neq p_i \in {\mathbb {A}}^m$ pour tout $1\leq i\leq n-2$ et $p_i\neq p_j$ pour $1\leq i\neq j\leq n-2$ . Le schéma U est étale au dessus de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n)$ par le morphisme somme directe. On note v l’image du point u par ce morphisme. On trouve

$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_v \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n) &= \dim_{{\mathbb{C}}} T_u U \\ &= 4 m + 2 (r-2) + (n-2) (m+r-1) \\ &= n(m+r-1) + 2m-2, \end{align*} $$

qui est plus grand que $\mathrm {expdim\, } \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},n) = n(m+r-1)$ comme $m\geq 2$ . Encore une fois grâce à la connexité du schéma Quot, ceci prouve le résultat.

Lemme 2.4 Soit $m\geq 2, r\geq 2$ et $\boldsymbol {n}=(n,n+1)$ pour $n\geq 1$ . Alors $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r}, \boldsymbol {n})$ est singulier.

Démonstration On commence par montrer l’énoncé dans le cas $n=1$ .

Considérons un point $z \in \operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2))$ representé par les quotients emboîtés

$$ \begin{align*} \bigl[ {\mathscr O}^{\oplus r}\twoheadrightarrow {\mathscr O}_0^{\oplus 2} \twoheadrightarrow {\mathscr O}_0 \bigr], \end{align*} $$

et écrivons encore une fois $\mathfrak m_0 = (x_1,\ldots ,x_m) \subset {\mathscr O} = {\mathbb {C}}[x_1,\ldots ,x_m]$ pour l’idéal de l’origine $0 \in {\mathbb {A}}^m$ . Comme on l’a rappelé à la Section 1.1, l’espace tangent en z est donné par:

$$ \begin{align*} &T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2))\\ & = \ker\left(\vphantom{\xrightarrow{\Delta_z}}\operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1}, {\mathscr O}_0)\oplus \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0^{\oplus 2})\right.\\ & \qquad \left.\xrightarrow{\Delta_z} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0) \right). \end{align*} $$

D’autre part, les espaces vectoriels apparaissant en $\Delta _z$ satisfont

$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-1}, {\mathscr O}_0) &= m+r-1,\\ \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0^{\oplus 2}) &=4m+2(r-2), \\ \dim_{{\mathbb{C}}} \operatorname{Hom}_{\mathscr O}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}\oplus {\mathscr O}^{\oplus r-2}, {\mathscr O}_0)&= 2m+r-2. \end{align*} $$

On obtient alors

$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_z\operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2))&\geq (m+r-1)+(4m+2(r-2))- (2m+r-2)\\ &> 2(m+r-1) = \mathrm{expdim\, } \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2)). \end{align*} $$

Ceci entraîne que z est un point singulier par notre remarque à la Section 1.4.

On va maintenant supposer que $n\geq 2$ . Considérons le sous-schéma ouvert

$$ \begin{align*} U \hookrightarrow \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,2)) \times \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(1,1))^{n-1}, \end{align*} $$

paramétrant les n-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. Choisissons un point $u = (z,z_1,\ldots ,z_{n-1}) \in U$ , où z est comme ci-dessus et $z_i$ est representé par des quotients emboîtés

$$ \begin{align*} \bigl[{\mathscr O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow {\mathscr O}_{p_i} \,\widetilde{\to}\, {\mathscr O}_{p_i}\bigr],\qquad p_i \in {\mathbb{A}}^m. \end{align*} $$

On va supposer également que $0\neq p_i \in {\mathbb {A}}^m$ pour tout i et que $p_i\neq p_j$ pour $1\leq i\neq j\leq n-1$ . Le schéma U est étale au dessus de $\operatorname {\mathrm {Quot}}_{{\mathbb {A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(n,n+1))$ , par le morphisme somme directe. On note v l’image du point u par ce morphisme. On trouve

$$ \begin{align*} \dim_{{\mathbb{C}}} T_v \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(n,n+1)) &= \dim_{{\mathbb{C}}} T_uU \\ &>2(m+r-1) + (n-1)(m+r-1) \\ &=(n+1)(m+r-1) \\ &=\mathrm{expdim} \operatorname{\mathrm{Quot}}_{{\mathbb{A}}^m}({\mathscr O}^{\oplus r},(n,n+1)). \end{align*} $$

Le point v est donc un point singulier.