Sur Les Sous-Groupes Normaux De SL₂ Sur Un Anneau Local

Resume

Soit GL_n (υ) le groupe des matrices inversibles n × n sur υ et soit SL_n (υ) le groupe des matrices n × n de déterminant 1 sur υ. Lorsque υ est un anneau local avec idéal maximal p, W. Klingenberg (Amer. J. Math. 1961) a classifié les sous-groupes normaux de GLn(υ) et de SLn(υ) au moyen de certains groupes de congruences déterminés par les idéaux de o, sauf lorsque n = 2 et 2 ∊ p ou υ/p = 𝔽₃. Ces cas furent étudiés par N. H. J. Lacroix (Can. J. Math. 1969) qui trouva (lorsque υ/p≠𝔽₂) la même classification pour les sous-groupes normaux de GL₂(υ) ; sa méthode donne simultanément la même classification également pour les sous-groupes normaux de SL₂(υ) si l'anneau o satisfait à une forte condition appelée Propriété T.

Au cours de cette note, nous précisons que les sous-groupes normaux de SL₂(υ) obéissent à la classification de Klingenberg si et seulement si υ a la Propriété T. Par la suite nous montrons qu'en l'absence de cette condition, l'on n'a pas de vraie classification basée sur les transvections. Divers résultats sur les sous-groupes normaux illustrent ce qu'on peut attendre d'une entreprise visant à décrire les sous-groupes normaux de SL₂(υ) en l'absence de la Propriété T.