Comparaison entre modèles d'ondes de surface en dimension 2

Abstract

Partant du principe de conservation de la masse et du principefondamental de la dynamique, on retrouvel'équation d'Euler nous permettant de décrire les modèlesasymptotiques de propagation d'ondes dans des eaux peu profondesen dimension 1. Pour décrire la propagation des ondes en dimension2, Kadomtsev et Petviashvili [ 15 (1970) 539] utilisent une perturbationlinéaire de l'équation de KdV. Mais cela ne précise pas si leséquations ainsi obtenues dérivent de l'équation d'Euler, c'est ceque montrent Ablowitz et Segur dans l'article [J. Fluid Mech.92 (1979) 691–715]. Oninsistera, de la même manière, sur le fait que les équations deKP-BBM peuvent être aussi obtenues à partir de l'équation d'Euler,et dans quelle mesure elles décrivent le modèle physique. Dans unsecond temps, on reprend la méthode introduite dans l'article deBona et al. [Lect. Appl. Math.20 (1983) 235–267] dans lequel ils comparent lessolutions d'ondes longues en dimension 1, à savoir les solutionsdes équations KdV et BBM, pour montrer ici que les solutions deséquations KP-II et KP-BBM-II sont proches sur un intervalle de tempsinversement proportionnel à l'amplitude des ondes. Du point de vue de la modélisation,il sera clair, d'après la première partie, que seul le modèledécrit par KP-BBM-II est bien posé, et comme du point de vuephysique, KP-II et KP-BBM-II décrivent les ondes longues de faibleamplitude lorsque la tension de surface est négligeable, il est intéressant de les comparer.De plus, on verra que la méthode utilisée ici reste valable pourles problèmes périodiques.