Hostname: page-component-cd9895bd7-jkksz Total loading time: 0 Render date: 2024-12-27T13:37:26.097Z Has data issue: false hasContentIssue false
  • English
  • Français

Invariance de la K-Théorie par équivalences dérivées

Published online by Cambridge University Press:  13 November 2009

Denis-Charles Cisinski
Denis-Charles Cisinski
Affiliation:
LAGA, CNRS (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, Av. Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France, cisinski@math.univ-paris13.fr
Get access

Abstract

The aim of these notes is to prove that any right exact functor between reasonable Waldhausen categories, that induces an equivalence at the level of homotopy categories, gives rise to a homotopy equivalence between the corresponding K-theory spectra. This generalizes a well known result of Thomason and Trobaugh. The ingredients, for this proof, are a generalization of the Waldhausen approximation theorem, and a simple combinatorial caracterization of derived equivalences. We also study simplicial localization of Waldhausen categories. We prove that a (homotopy) right exact functor induces an equivalence of homotopy categories if and only if it induces anequivalence of simplicial localizations. This allows to make the link with the K-theory of simplicial categories introduced by Toën and Vezzosi.

Résumé

Ces notes ont pour but de démontrer que tout foncteur exact à droite entre catégories de Waldhausen raisonnables, induisant une équivalence au niveau des catégories homotopiques, définit une équivalence d'homotopie entre les spectres de K-théorie correspondants. Cela généralise un résultat bien connu de Thomason et Trobaugh. Les ingrédients de démonstration sont une généralisation du théorème d'approximation de Waldhausen et une caractérisation combinatoire simple des équivalences dérivées. On étudie par ailleurs la localisation simpliciale des catégories de Waldhausen. On démontre qu'un foncteur (homotopiquement) exact à droite induit une équivalence de catégories homotopiques si et seulement s'il induit une équivalence au niveau des localisations simpliciales. Cela permet de faire le lien avec la K-théorie des catégories simpliciales introduite par Toën et Vezzosi.

Keywords

K-theoryWaldhausen categorysimplicial categoryderived equivalence
Type
Research Article
Information
Journal of K-Theory , Volume 6 , Issue 3 , December 2010 , pp. 505 - 546
Copyright
Copyright © ISOPP 2009

Access options

Get access to the full version of this content by using one of the access options below. (Log in options will check for institutional or personal access. Content may require purchase if you do not have access.)

References

BM07.Blumberg, A. J. and Mandell, M. A., Algebraic K-theory and abstract homotopy theory, arXiv:0708.0206, 2007.Google Scholar
Bro73.Brown, K. S., Abstract homotopy and generalized sheaf cohomology, Transactions of the A.M.S. 186 (1973), 419–458.CrossRefGoogle Scholar
Cis06.Cisinski, D.-C., Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie, Astérisque 308, Soc. Math. France, 2006.Google Scholar
Cis08.Cisinski, D.-C., Catégories dérivables, prépublication disponible à l'adresse http://www-math.univ-paris13.fr/˜cisinski/, 2008.Google Scholar
DG99.Dalpayrat-Glutron, J., Équivalences dérivées et K-théorie d'après Thomason-Trobaugh, Mémoire de DEA de l'université Paris 7, 1999.Google Scholar
DK80a.Dwyer, W. G. and Kan, D. M., Calculating simplicial localizations, J. Pure Appl. Algebra 18 (1980), 17–35.CrossRefGoogle Scholar
DK80b.Dwyer, W. G., Simplicial localizations of categories, J. Pure Appl. Algebra 17 (1980), 267–284.CrossRefGoogle Scholar
DK87.Dwyer, W. G., Equivalences between homotopy theories of diagrams, Algebraic topology and algebraic K-theory, Annals of Math. Studies 113, Princeton University Press, 1987, pp. 180–205.Google Scholar
DS04.Dugger, D. and Shipley, B., K-theory and derived equivalences, Duke Math. J. 124 (2004), no. 3, 587–617.CrossRefGoogle Scholar
Gro03.Grothendieck, A., Revêtements étales et groupe fondamental (SGA1), Documents Mathématiques, vol. 3, Soc. Math. France, 2003, édition anotée et recomposée du volume 224 des Lecture Notes in Mathematics publié en 1971 par Springer-Verlag.Google Scholar
Hir03.Hirschhorn, P. S., Model categories and their localizations, Math. surveys and monographs 99, Amer. Math. Soc., 2003.Google Scholar
Kan59.Kan, D.M., On c.s.s. complexes, Amer. J. Math. 179 (1959), 449–476.Google Scholar
Qui73.Quillen, D., Higher algebraic K-theory, Higher K-theories I, Lecture Notes in Mathematics 341, pp. 85–147, Springer-Verlag, 1973.CrossRefGoogle Scholar
Rez98.Rezk, C., Fibrations and homotopy colimits of simplicial sheaves, arXiv:math/9811038, 1998.Google Scholar
Sag04.Sagave, S., On the algebraic K-theory of model categories, J. Pure Appl. Algebra 190 (2004), no. 1-3, 329–340.CrossRefGoogle Scholar
Sch06.Schlichting, M., Negative K-theory of derived categories, Math. Z. 253 (2006), no. 1, 97–134.CrossRefGoogle Scholar
TT90.Thomason, R. and Trobaugh, T., Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories, The Grothendieck Festschrift III, Birkhäuser, 1990, pp. 247–435.Google Scholar
TV04.Toën, B. and Vezzosi, G., A remark on K-theory and S-categories, Topology 43 (2004), no. 4, 765–791.CrossRefGoogle Scholar
Wal85.Waldhausen, F., Algebraic K-theory of spaces, Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983), Lectures Notes in Mathematics 1126, pp. 318–419, Springer-Verlag, 1985.CrossRefGoogle Scholar
Wei99.Weiss, M., Hammock localizations in Waldhausen categories, J. Pure Appl. Algebra 138 (1999), 185–195.CrossRefGoogle Scholar