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Bemerkungen zum Begriff der inhaltlichen Widerspruchsfreiheit

Published online by Cambridge University Press:  12 March 2014

Andrzej Mostowski
Andrzej Mostowski*
Affiliation:
Warschau
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In dem vorstehenden Aufsatz hat A. Tarski den Begriff der inhaltlichen Widerspruchsfreiheit (content-consistency) einer Aussagenmenge eingeführt. Der Verfasser hebt hervor, daß die inhaltliche Widerspruchsfreiheit keine innere Eigenschaft der Aussagenmenge selbst ist, sondern vielmehr auf die jeweilige Definition dieser Menge bezogen werden soll. Es ist also a priori möglich, daß wir, von zwei verschiedenen Definitionen einer und derselben Aussagenmenge E ausgehend, das eine Mal feststellen, daß E inhaltlich widerspruchsfrei ist, und das andere Mal, daß E nicht inhaltlich widerspruchsfrei ist. Daß dies tatsächlich in vielen Fällen vorkommt, zeigt folgender einfacher Satz:

I. Eine definierbare Satzmenge E, die alle gültigen Formeln des Aussagenkalküls enthält und in Bezug auf die Abtrennungsregel abgeschlossen ist, ist dann und nur dann in Bezug auf jede ihrer Definitionen inhaltlich widerspruchsfrei, wenn sie ausschließlich aus wahren Aussagen besteht.

Daß diese Bedingung hinreichend ist, hat Tarski (a. a. O. Satz 7.1) bewiesen. Nehmen wir nun an, E enthalte einen falschen Satz f (ohne freie Variable), und es sei ϕ irgendeine Definition von E. Die Aussagefunktion ψ = f¯→ϕ ist offenbar ebenfalls eine Definition von E. Wird ψ als Definition von E angenommen, so hat x(E) die Form einer Implikation mit dem Vorderglied f¯, welche auch die Aussage x sein könnte. x(E) gehört daher immer der Menge E an, woraus wir mit Rücksicht auf Bedingung 3.4 aus dem vorstehenden Artikel schließen, daß E in Bezug auf die Definition ψ nicht inhaltlich widerspruchsfrei ist, w. z. b. w.

Type
Research Article
Information
The Journal of Symbolic Logic , Volume 4 , Issue 3 , September 1939 , pp. 113 - 114
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1939

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References

1 Vgl. insbesondere die Fußnote 9 auf der S. 107.

2 Die exakte Definition dieses Begriffes gibt Tarski, , Sur les ensembles définissables des nombres réels I, Fundamenta mathematicae, Bd. 17 (1931), S. 210 ffCrossRefGoogle Scholar. an. Wir geben hier mit geringen Modifikationen seine Definition wieder, wobei wir einfachheitshalber voraussetzen, daß das zugrunde gelegte System der Logik mit dem System P aus der Gödels, Arbeit: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. 38 (1931), S. 173 ffCrossRefGoogle Scholar. identisch ist. Indem wir uns der von Gödel a. a. O. eingeführten Bezeichnungsweise bedienen und außerdem mit G(x) die Gödelsche Nummer der Aussage x bezeichnen, können wir jene Definition wie folgt aussprechen: Eine Aussage xϵS heißt Definition einer Aussagenmenge E, wenn G(x) eine Aussagefunktion mit genau einer freien Variablen 17 ist, die folgender Bedingung genügt: für jede Aussagefunktion yϵS gilt yϵE dann und nur dann, wenn

die Gödelsche Nummer einer wahren Aussage ist. Diese Aussage ist eben die von Tarski verwendete Aussage y(E).

3 Man hätte in diesem Beweis ebenso gut ψ = f¯&ϕ setzen können und schließen, daß 3.3 nicht erfüllt ist.

4 Vgl. z. Kleene, B., General recursive functions of natural numbers, Mathematische Annaten, Bd. 112 (1936), S. 727 ffCrossRefGoogle Scholar.

5 Vgl. Rosser, , Extensions of some theorems of Gödel and Church, The journal of symbolic logic, Bd. 1 (1936), S. 87 ffCrossRefGoogle Scholar.

6 Vgl. dazu Tarski, , Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften, Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. 37 (1930), S. 361 ff.CrossRefGoogle Scholar, Satz 1.56 (von A. Lindenbaum).

7 Sie ist allerdings nicht rekursiv.