À l'ouest d'Éden

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Le prophète des Crétois, nous le savions depuis longtemps, n'était qu'un menteur; pourtant, à l'aube de ce siècle, quand nous avons voulu traduire nos mathématiques en termes d'ensembles, notre conscience s'est troublée de la découverte de paradoxes.

“Si R est une relation binaire entre éléments d'un ensemble (sic) E, il n'existe pas d'élément a de E, tel que pour tout x de E (a, x) satisfasse R si et seulement si (x, x) ne satisfait pas R.” Voilà un résultat bien banal! Quel est cet assaisonement fondationnel qui a le pouvoir de lui donner une saveur si troublante? C'est, sans doute, qu'il manifeste de façon brutale la contradiction d'un système d'axiomes auquel nous sommes viscéralement attachés, la “théorie des ensembles”, composée de l'axiome d'extensionalité (sans influence sur les paradoxes), et du schéma de compréhension (car nous avons d'excellentes raisons de vouloir rester dans le premier ordre, et d'éviter, à l'encontre de Zermelo, un axiome du second ordre).

Nous croyons en premier lieu que la théorie des ensembles est vraie. C'est un peu délicat de préciser ce qu'on entend par là: quand on formalise l'arithmétique, il n'y a pas de confusion possible sur la structure de référence qu'on veut décrire; mais le modèle naturel, le “modèle standard” de la théorie des ensembles, le connait-on vraiment? L'auteur de ces lignes est incapable d'en décider: cela ne l'empêchera pas de faire appel à l'intuition ensembliste la plus débridée, ce qui montre qu'il n'est pas rebuté par l'incohérence plus que par la contradiction!