It is my intention in this paper to add somewhat to the observations already made in my earlier publications on the existence of undecidable statements in systems of logic possessing rules of inference of a “non-finitary” (“non-constructive”) character (§§1–4).

I also wish to emphasize once more the part played by the concept of truth in relation to problems of this nature (§§5–8).

At the end of this paper I shall give a result which was not touched upon in my earlier publications. It seems to be of interest for the reason (among others) that it is an example of a result obtained by a fruitful combination of the method of constructing undecidable statements (due to K. Gödel) with the results obtained in the theory of truth.

1. Let us consider a formalized logical system L. Without giving a detailed description of the system we shall assume that it possesses the usual “finitary” (“constructive”) rules of inference, such as the rule of substitution and the rule of detachment (modus ponens), and that among the laws of the system are included all the postulates of the calculus of statements, and finally that the laws of the system suffice for the construction of the arithmetic of natural numbers. Moreover, the system L may be based upon the theory of types and so be the result of some formalization of Principia mathematica. It may also be a system which is independent of any theory of types and resembles Zermelo's set theory.

In dem vorstehenden Aufsatz hat A. Tarski den Begriff der inhaltlichen Widerspruchsfreiheit (content-consistency) einer Aussagenmenge eingeführt. Der Verfasser hebt hervor, daß die inhaltliche Widerspruchsfreiheit keine innere Eigenschaft der Aussagenmenge selbst ist, sondern vielmehr auf die jeweilige Definition dieser Menge bezogen werden soll. Es ist also a priori möglich, daß wir, von zwei verschiedenen Definitionen einer und derselben Aussagenmenge E ausgehend, das eine Mal feststellen, daß E inhaltlich widerspruchsfrei ist, und das andere Mal, daß E nicht inhaltlich widerspruchsfrei ist. Daß dies tatsächlich in vielen Fällen vorkommt, zeigt folgender einfacher Satz:

I. Eine definierbare Satzmenge E, die alle gültigen Formeln des Aussagenkalküls enthält und in Bezug auf die Abtrennungsregel abgeschlossen ist, ist dann und nur dann in Bezug auf jede ihrer Definitionen inhaltlich widerspruchsfrei, wenn sie ausschließlich aus wahren Aussagen besteht.

Daß diese Bedingung hinreichend ist, hat Tarski (a. a. O. Satz 7.1) bewiesen. Nehmen wir nun an, E enthalte einen falschen Satz f (ohne freie Variable), und es sei ϕ irgendeine Definition von E. Die Aussagefunktion ψ = f¯→ϕ ist offenbar ebenfalls eine Definition von E. Wird ψ als Definition von E angenommen, so hat x(E) die Form einer Implikation mit dem Vorderglied f¯, welche auch die Aussage x sein könnte. x(E) gehört daher immer der Menge E an, woraus wir mit Rücksicht auf Bedingung 3.4 aus dem vorstehenden Artikel schließen, daß E in Bezug auf die Definition ψ nicht inhaltlich widerspruchsfrei ist, w. z. b. w.

In a previous paper a method was given for representing modal functions in two-valued logic. The purpose of the present note is to indicate how the results of that paper can be improved in certain respects and to point out a simple Boolean representation of Lewis's system of strict implication. The definitions of the previous paper will be presupposed.