ENDOSCOPIE ET CHANGEMENT DE CARACTÉRISTIQUE

Abstract

Soient $\bm{G}$ un groupe réductif connexe sur un corps local non archimédien $F$ et $\bm{H}$ un groupe endoscopique de $\bm{G}$. On suppose $\bm{G}$ et $\bm{H}$ non ramifiés. Le {\og}lemme fondamental{\fg} affirme l’égalité de certaines sommes pondérées d’intégrales orbitales sur $\bm{G}(F)$ et sur $\bm{H}(F)$. On peut descendre cette assertion en un {\og}lemme fondamental pour les algèbres de Lie{\fg} affirmant l’égalité de sommes pondérées analogues sur $\bm{\mathfrak{g}}(F)$ et sur $\bm{\mathfrak{h}}(F)$, où $\bm{\mathfrak{g}}$ et $\bm{\mathfrak{h}}$ sont les algèbres de Lie de $\bm{G}$ et $\bm{H}$. Cette assertion est cruciale pour la théorie de l’endoscopie de Langlands. D’importants cas particuliers ont été prouvés récemment, sous l’hypothèse que la caractéristique de $F$ est positive. Nous donnons un sens précis à l’assertion suivante, et nous la prouvons : soient $F$ et $F'$ deux corps locaux de même corps résiduel $\mathbb{F}_{q}$ et de caractéristique résiduelle $p$ assez grande ; supposons le lemme fondamental (pour les algèbres de Lie) vrai sur le corps de base $F$ ; alors ce lemme est vrai sur le corps de base $F'$. Cela permet de relever ce lemme de la caractéristique positive à la caractéristique nulle. Une grande partie de l’article est consacrée à reformuler des théories bien connues (endoscopie, immeubles, réseaux de Moy–Prasad) de sorte que $F$ n’y intervienne que via le corps résiduel $\mathbb{F}_{q}$.

Let $\bm{G}$ be a connected reductive group over a non-archimedean local field $F$ and let $\bm{H}$ be an endoscopic group of $\bm{G}$. We suppose that $\bm{G}$ and $\bm{H}$ are unramified. The fundamental lemma asserts an equality between certain linear combinations of integral orbitals over $\bm{G}(F)$ and $\bm{H}(F)$. We can translate this assertion in a ‘fundamental lemma for Lie algebras’, that is, a conjectural equality between linear combinations of integral orbitals over $\bm{\mathfrak{g}}(F)$ and $\bm{\mathfrak{h}}(F)$, where $\bm{\mathfrak{g}}$ and $\bm{\mathfrak{h}}$ are the Lie algebras of $\bm{G}$ and $\bm{H}$. Important particular cases of this lemma were recently proved, assuming the characteristic of $F$ to be positive. We give a precise meaning to the following assertion and we prove it: let $F$ and $F'$ be two local fields with the same residue field $\mathbb{F}_{q}$ and with ‘big’ residual characteristic; suppose that the fundamental lemma (for Lie algebras) is true over $F$; then it is true over $F'$. In particular, we can lift the lemma to $0$-characteristic if it is known for positive characteristic. A large part of the article reformulates well-known constructions (endoscopy, buildings, Moy–Prasad filtrations) so that $F$ appears only via his residual field $\mathbb{F}_{q}$.