REPRÉSENTATIONS LISSES DE $\mathrm{GL}_{m}(\mathrm{D})$ IV : REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES

Abstract

Soit $\mathrm{F}$ un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit $\mathrm{D}$ une algèbre à division de centre $\mathrm{F}$. Nous prouvons que toute représentation irréductible supercuspidale du groupe $\mathrm{GL}_m(\mathrm{D})$, de niveau non nul, est l'induite compacte d'une représentation d'un sous-groupe ouvert compact modulo le centre de $\mathrm{GL}_m(\mathrm{D})$. Plus précisément, nous prouvons que de telles représentations contiennent un type simple maximal au sens de Bushnell et Kutzko.

Let $\mathrm{F}$ be a non-Archimedean locally compact field and let $\mathrm{D}$ be a central $\mathrm{F}$-division algebra. We prove that any positive level supercuspidal irreducible representation of the group $\mathrm{GL}_m(\mathrm{D})$ is compactly induced from a representation of a compact mod centre open subgroup of $\mathrm{GL}_m(\mathrm{D})$. More precisely, we prove that such representations contain a maximal simple type in the sense of Bushnell and Kutzko.