SUR LA THÉORIE SPECTRALE DES RELATIONS D’ÉQUIVALENCE MESURÉES

Abstract

Nous présentons une étude des relations d’équivalence mesurées du point de vue spectral. En particulier nous montrons que pour une relation d’équivalence donnée, la propriété T de Kazhdan, l’ergodicité forte et la moyennabilité peuvent être caractérisées par la présence d’un trou dans le spectre de certaines marches aléatoires sur les orbites de cette relation (à coefficients dans des représentations hilbertiennes appropriées). Les démonstrations reposent de façon essentielle sur l’étude des relations d’équivalence moyennables (Connes–Feldman–Weiss), sur les caractérisations spectrales correspondantes, pour les groupes dénombrables, de la moyennabilité (théorème de Kesten) et de la propriété T de Kazhdan (Gromov, Ghys, etc.), ainsi que sur des résultats techniques sur les représentations unitaires de relations d’équivalence mesurées (en particulier au voisinage de la représentation triviale) que nous développons au cours de l’article. Enfin nous obtenons un analogue du “critère $\lambda_1>1/2$” pour les relations d’équivalence mesurées.

It is a well known theorem due to Kesten that amenability for discrete groups can be characterized in terms of the spectra of diffusion operators associated to random walks on the Cayley graph of these groups. In this paper we are interested in analogous results in the framework of discrete measured equivalence relations. Our main results concern characterizations of Kazhdan’s property T, amenability, and the non existence of amenable quotients (strong ergodicity), in terms of the spectra of diffusion operators associated to random walks and hilbertian representations of the underlying equivalence relation. Our arguments are based on the proof of Connes–Feldman–Weiss’s classification of amenable equivalence relations, the spectral characterizations, in the group case, of amenability (Kesten) and property T (Gromov, Ghys, etc.), as well as new results on the representation theory of measured equivalence relations (in particular in the neighbourhood of the trivial representation) and Kazhdan’s property T. As an application we show how Żuk’s ‘$\lambda_1>1/2$’ criterion for property T can be adapted to measured equivalence relations.