LA FORMULE DE PLANCHEREL POUR LES GROUPES p-ADIQUES. D’APRÈS HARISH-CHANDRA

Abstract

Soit $G$ le groupe des points définis sur un corps $p$-adique d’un groupe réductif connexe. On définit l’espace des fonctions de Schwartz-Harish-Chandra sur $G$: ce sont des fonctions sur $G$, à valeurs complexes, qui vérifient des conditions de croissance et de lissité. La formule de Plancherel exprime les valeurs d’une telle fonction $f$ en termes des opérateurs $\pi(f)$, où $\pi$ parcourt l’ensemble des classes de représentations lisses irréductibles et tempérées de $G$. On démontre cette formule, ainsi que quelques résultats utiles d’analyse harmonique: l’existence du prolongement rationnel d’un opérateur d’entrelacement, la finitude (si $G$ est semi-simple) de l’ensemble des classes de représentations lisses irréductibles de carré intégrable de $G$ possédant un $K$-type donné. Tous ces résultats sont dus à Harish-Chandra, qui les a démontrés dans un manuscrit non publié. Le présent article est une rédaction de ce manuscrit.

AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 22E35; 22E50