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Réalisation de Hodge du polylogarithme d'un schéma abélien

Part of: Abelian varieties and schemes (Co)homology theory

Published online by Cambridge University Press:  20 November 2008

David Blottière
David Blottière
Affiliation:
Universität Paderborn, Institut für Mathematik, Warburger Straβe 100, 33098 Paderborn, Allemagne (blottier@math.upb.de)
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Abstract

In this article we show that the polylogarithmic currents introduced by Andrey Levin describe the polylogarithm of an abelian scheme at the topological level. From this result, which had been conjectured by Andrey Levin himself, we deduce a method to explicit the Eisenstein classes of abelian schemes at the topological level. These classes are of special interest since they have a motivic origin by a result of Guido Kings. In a forthcoming work entitled ‘Les classes d'Eisenstein des variétés de Hilbert–Blumenthal’, the results of the present article are used to prove that the Eisenstein classes of Hilbert–Blumenthal varieties degenerate at the boundary of the Baily–Borel compactification of the base in a special value of an L-function associated to the underlying totally real number field, and we get as a corollary a non-vanishing result for some of these Eisenstein classes in this geometric situation.

Résumé

Dans cet article, on démontre que les courants polylogarithmiques introduits par Andrey Levin décrivent le polylogarithme d'un schéma abélien au niveau topologique. De ce résultat, qu'Andrey Levin avait lui-même conjecturé, on déduit une méthode pour déterminer explicitement les classes d'Eisenstein des schémas abéliens au niveau topologique. Ces classes ont un intérêt particulier, car, comme Guido Kings l'a établi, elles ont une origine motivique. Dans une suite à ce travail intitulée «Les classes d'Eisenstein des variétés de Hilbert–Blumenthal», on utilise les résultats obtenus dans le présent article pour démontrer que les classes d'Eisenstein des variétés de Hilbert–Blumenthal dégénèrent au bord de la compactification de Baily–Borel de la base en une valeur spéciale de fonction L associée au corps de nombres totalement réel sous-jacent, et on en déduit, dans ce contexte géométrique, un résultat de non annulation pour certaines classes d'Eisenstein.

Keywords

polylogarithmesSchémas abéliensmodules de Hodgepolylogarithmsabelian schemesHodge modules

MSC classification

Secondary: 14K20: Analytic theory; abelian integrals and differentials 14F43: Other algebro-geometric (co)homologies (e.g., intersection, equivariant, Lawson, Deligne (co)homologies)
Type
Research Article
Information
Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 8 , Issue 1 , January 2009 , pp. 1 - 38
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2008

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References

Références

1.Beilinson, A. A. et Levin, A., The elliptic polylogarithm, dans Proc. Research Conf. ‘Motives’, July 20–August 2, 1991, Seattle, WA (ed. Jannsen, U., Kleiman, S. L. et Serre, J. P.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Tome 55, Volume II, pp. 123–190 (American Mathematical Society, Providence, RI, 1994).Google Scholar
2.Beilinson, A. A., Bernstein, J. et Deligne, P., Faisceaux pervers, Analyse et topologie sur les espaces singuliers, Astérique, Tome 100 (Société Mathématique de France, Paris, 1982).Google Scholar
3.Blottière, D., Les classes d'Eisenstein des variétés de Hilbert–Blumenthal, en préparation.Google Scholar
4.Dieudonné, J., Éléments d'analyse, Tome III, (Éditions Jacques Gabay, Paris, 2003).Google Scholar
5.Griffiths, P. et Harris, J., Principles of algebraic geometry (Wiley-Interscience, 1994).Google Scholar
6.Hain, R. M. et Zucker, S., Unipotent variations in mixed Hodge structures, Invent. Math. 88 (1987), 83–124.Google Scholar
7.Iversen, B., Cohomology of sheaves (Universitext) (Springer, 1986).Google Scholar
8.Kashiwara, M., A study of variations of mixed Hodge structure, Publ. RIMS Kyoto 22 (1986), 991–1024.Google Scholar
9.Kings, G., K-theory elements for the polylogarithm of abelian schemes, J. Reine Angew. Math. 517 (1999), 103–116.Google Scholar
10.Levin, A., Polylogarithmic currents on Abelian varieties, dans Regulators in Analysis, Geometry and Number Theory, Proc. German–Israeli Workshop, March 11–20, 1996, Jerusalem (ed. Reznikov, A. et Schappacher, N.), Progress in Mathematics, Tome 171, pp. 207–229 (Birkhäuser, Basel, 2000).Google Scholar
11.Saito, M., Mixed Hodge modules, Publ. RIMS Kyoto 26 (2000), 221–233.Google Scholar
12.Terras, A., Harmonic analysis on symmetric spaces and applications, Tome I (Springer, 1985).Google Scholar
13.Wildeshaus, J., Realizations of polylogarithms, Lecture Notes in Mathematics, Tome 1650 (Springer, 1997).Google Scholar