Une dualité entre fonctions booléennes

Abstract

Since any function f(x₁, … , x_m) from {0, 1}^m in a finite field k can be uniquely written as a multilinear polynomial, we associate to it its inverse dual f*(x₁, … , x_m) expressing the coefficients of this canonical polynomial. We show that the unlikely hypothesis that the class P(k) of sequences of functions of polynomial complexity be closed by duality is equivalent to the well-known hypothesis P = #pP, where p is the characteristic of k.

In a first section we expose the result in the frame of classical Boolean calculus, that is, when k = ℤ/2ℤ. In a second section we treat the general case, introducing a notion of transformation whose duality is a special case; the transformations form a group isomorphic to GL₂(k); among them, we distinguish the benign transformations, which have a weak effect on the complexity of functions; we show that, in this respect, all the non-benign transformations have the same power of harmfulness.

In the third section we consider functions from k^m into k, and in the last, after introducing #P = P to the landscape, we compare our results with those of Guillaume Malod, concerning the closure by ‘coefficient-function’ of various classes of complexity of sequences of polynomial defined in Valiant's way.

Résumé

Si k est un corps fini, toute fonction f(x₁, … , x_m) de {0, 1}^m dans k s'écrit de manière unique comme un polynôme, à coefficients dans k, de degré un ou zéro en chacune de ses variables ; on peut donc lui associer une fonction f*(x₁, … , x_m), sa duale inverse, qui exprime les coefficients de son polynôme canonique. Nous considérons l'improbable hypothèse que la classe P(k), formée des suites de fonctions calculables en un nombre d'opérations (additions et multiplications) de croissance polynomialement bornée, soit close par dualité ; nous montrons qu'elle équivaut à une hypothèse bien connue en Théorie de la Complexité sous le nom de P = #pP, où p est la caractéristique de k.

Dans une première section, nous exposons ce résultat lorsque k = ℤ/2ℤ, c'est-à-dire dans le cadre des calculs booléens classiques ; sa démonstration évite l'emploi d'un polynôme universel comme le hamiltonien : ses ingrédients sont d'une part la réduction parcimonieuse des circuits aux termes, et d'autre part la constatation que les expressions arithmétiques ont une duale très facile à calculer.

Dans la deuxième section, nous traitons le cas général, en introduisant une classe SP(k) obtenue par sommation à partir de la classe P(k) ; nous vérifierons dans la quatrième section l'équivalence des hypothèses SP(k) = P(k) et #pP = P. Nous y définissons également une notion de transformation, dont la dualité est un cas particulier. Les transformations forment un groupe isomorphe à GL₂(k), avec un sous-groupe B(k) de transformations que nous qualifions de bénignes, car elles n'ont que peu d'effet sur la complexité des fonctions ; nous montrons que toutes les transformations non-bénignes ont à peu près la même influence sur la complexité des fonctions, sauf si k = F₃ ou k = F₅ ; dans ces deux cas exceptionnels, la transformation de Fourier joue un rôle particulier.

Dans la troisième section, nous considérons des fonctions de k^m dans k ; nous n'y trouvons pas des classes de complexité vraiment nouvelles, mais seulement un groupe de transformations plus riche.

La quatrième section introduit l'égalité #P = P dans le paysage ; quant à la cinquième et dernière, elle examine le lien entre nos résultats et ceux de Guillaume Malod concernant la clôture par fonction-coefficient de diverses classes de complexité pour le calcul des polynômes à la manière de Valiant.

Nous nous sommes efforcés de rédiger cet article de manière à ce qu'il puisse être lu par des personnes non spécialisées en algorithmie.