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Potentiel et Problème Généralisé de Dirichlet*

Published online by Cambridge University Press:  03 November 2016

Par C. de la Vallée Poussin
Par C. de la Vallée Poussin*
Affiliation:
professeur à l’Université de Louvain
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On connaît le problème classique ou le problème simple de Dirichlet. On donne une surface fermée S qui partage l’espace en deux domaines, l’un intérieur, l’autre extérieur. On suppose que la surface satisfait à certaines conditions de régularité, par exemple, être douée d’un plan tangent. On assigne une fonction continue U(M) d’un point M sur la surface S, et l’on demande de déterminer la fonction U(P), harmonique et bornée dans l’un des deux domaines précédents, qui tend vers U(M) quand le point P tend vers le point M de la frontière. Le problème est intérieur ou extérieur selon le domaine considéré.

Type
Research Article
Information
The Mathematical Gazette , Volume 22 , Issue 248 , February 1938 , pp. 17 - 36
Copyright
Copyright © Mathematical Association 1938

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Footnotes

*

Nous avons traité le même sujet dans des conférences que nous avons eu l’honneur de faire à Strasbourg en décembre 1936, mais nous le reprenons ici avec des démonstrations nouvelles et plus directes, que nous rattachons toutes à la considération de la même intégrale définie. Par contre, nous avons exposé à Strasbourg un important élargissement du problème de Dirichlet qui sera laissé de côté dans cet article-ci. Nos conférences de Strasbourg sont publiées dans les Publications de l’Institut Mathématique de Strasbourg, II. Paris, Hermann, 1937.

References

page no 17 note † [The thanks of the Editor are due to Professor de la Vallée Poussin and to the University of London for permission to publish these lectures in the Gazette. ]

page no 17 note ‡ “Extension de la méthode du balayage de Poincaré et problème de Dirichlet”, Paris, 1932.

page no 17 note § Cette opération n’était nullement nouvelle, elle avait déjà été faite par Gauss, il y a près d’un siècle.

page no 18 note * Le problème généralisé de Dirichlet, par Florin Vasilesco. Mémoires in 8° de l’Académie Royale de Belgique, t. xvi, fasc. 4, 1937.

page no 19 note * Potentiel d’équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions, par Otto Frostman. Meddelanden fran Lunds Universitets matematiska seminarium, Bd. 3. Lund, 1935. C.W.K. Gleberup.

page no 19 note † Monografje matematyczne, t. II. Warsawa, 1933. 2e éd. anglaise, 1937.

page no 19 note ‡ Pour la théorie des fonctions d’ensemble, nous renvoyons à notre ouvrage de la Collection Borel: Intégrales de Lebesgue, Fonctions d’ensemble, Classes de Baire. lère éd. Paris, 1916, 2e éd. 1934.

page no 20 note * C. R. Ac. des Sc. Paris, 200 (1935), p. 1173.

page no 20 note † En réalité, la borne du potentiel est toujours atteinte sur le noyau, mais la démonstration suppose la théorie du balayage comme l’a démontré M. A. J. Maria. Voir Frostman, No. 38, p. 68.

page no 23 note * Cette théorie et son application à l’intégration a été exposé dans notre Mémoire cité des Annales de l’Institut Poincaré (1932). Elle l’est aussi dans l’ouvrage de Frostman. Nous sommes revenus en détail sur ces questions dans nos conférences de Strasbourg et nous y renvoyons le lecteur.

page no 24 note * Nous avons donné cette définition dans notre Mémoire cité de l’Institut Poincaré. M. Wiener en avait donné antérieurement une définition qui ne pouvait s’appliquer qu’aux ensembles fermés.

page no 26 note * Frostman, ouvrage cité, No. 44, p. 81.

page no 26 note † Ces termes sont nouveaux. Les propriétés invoquées des ensembles sont établies dans mon ouvrage cité de la Collection Borel.

page no 27 note * Gauss, C.F., Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-Kräfte, Werke 5, p. 232 Google Scholar.

page no 28 note * Il y a ici un usage, tout au moins apparent, de l’axiome de Zermelo. J’ai suivi dans mes conférences de Strasbourg une marche beaucoup plus longue qui évite cette objection.

page no 29 note * C’est la première fois, pensons-nous, que la démonstration de ce théorème est rattachée au minimum de l’intégrale g(μ). Gauss suppose l’existence et la continuité des dérivées partielles de U et transforme I en une intégrale étendue à tout l’espace et portant sur la somme des carrés des trois dérivées premières de U On doit à M. M. Riesz une transformation de I en une intégrale portant encore sur un carré. Elle est très ingénieuse, mais fort délicate. Voir Frostman, No. 16, p. 28.

page no 35 note * Nous reproduisons ici les définitions et les démonstrations données dans nos Conférences de Strasbourg.