Sur l'écart quadratique moyen des diviseurs d'un entier normal, 2

Abstract

Considérons la fonction arithmétique $$D^*(n,t)\colonequal \sum_{\di{d|n,\,d'|n}{0<|\log (d'/d)|\le t}} 1\qquad (n\,{>}\,1,\,t\,{>}\,0),$$ qui généralise la fonction $T^*(n,\alpha)\colonequal D^*(n,(\log n)^{-\alpha})$, étudiée dans la première partie de cet article [7]. Les variations de $D^*(n,t)$ au voisinage de l'origine permettent de mesurer, en moyenne quadratique, la propension des diviseurs de l'entier $n$ à s'agglutiner autour de certaines valeurs. Nous nous proposons ici de donner une majoration essentiellement optimale de cette fonction de $t$ sur $[0,1]$ lorsque $n$ est astreint à parcourir un ensemble d'entiers non exceptionnels en un certain sens quantitativement précisé.