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Zur Isoperimetrischen Ungleichung für k-Dimensionale Konvexe Polyeder

Published online by Cambridge University Press:  22 January 2016

H. Hadwiger
H. Hadwiger*
Affiliation:
Bern, Schweiz
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Für ein eigentliches konvexes Polyeder P des k-dimensionalen euklidischen Raumes gilt die isoperimetrische Ungleichung

(1)

wobei V das Volumen und F die Oberfläche von P bedeuten; die Grôsse wk bezeichnet das Volumen der k-dimensionalen Einheitskugel, also

(2)

Type
Research Article
Information
Nagoya Mathematical Journal , Volume 5 , February 1953 , pp. 39 - 44
Copyright
Copyright © Editorial Board of Nagoya Mathematical Journal 1953

References

1) Goldberg, M., The isoperimetric Problem for Polyhedra. Tôhoku Math. J. 40 (1935), 226–233 Google Scholar.

2) Goldberg, M. loc. cit.; Fejes-Tóth, L., The isepiphan problem for w-hedra, Amer. J. Math, 70 (1948), 174–180 Google Scholar.

3) Betrachten wir bei pielsweise den Fall k = 3, n = 4, so erhalten wir (1) …; ….

4) Die Bedingung der Konvexität ist hier nicht wesentich.

5) Minkowski, H., Allgemeine Lehrsätze über konvexe Polyeder. Ges. Abh. Bd. 2, 122–127, 103–121 (Leipzig und Berlin 1911)Google Scholar.

6) Lindelõf, L., Propriétés générates despolyedres. St. Petersburg Bull. Ac. Sc. 14 (1869), 258–269 Google Scholar.

7) Vgl auch Hinweis in Bonnesen, T. und Fenchel, W., Theorie der konvexen Körper. (Berlin 1934) § 12, Seite 111 CrossRefGoogle Scholar.

8) Das Polyeder P wird als Durchschnitt von n Halbröumen aufgefasst Dann lösst sich das aussere Parallelpolyeder i.A. als Durchschnitt von n parallelen Halbräumen interpretieren, die um den Betrag ρ in den Richtungen der nach aussen gerichteten Normalvektoren versehoben sind. Das gleiche Polyeder lasst sich auch durch die Minkowskische Summe P x ρP0 darstellen.

9) Bekanntlich ist die Volumfunktion V(ρ) für ρ > 0 differenzierbar und es gilt V’(ρ)= F (ρ). Für ρ = 0 ist die rechtsseitige Ableitung vorhanden; zu beachten ist weiter, dass F(ρ) stetig ist.

10) Es handelt sich hier um das k-dimensionale Analogon zum “Circle Ideal ” von M. Goldberg (loc. cit. 227).