Mathematical Model of a Three-Dimensional Non-Isothermal Glacier

Abstract

A mathematical model is constructed for land glaciers with the thickness much less than the horizontal dimensions and radii of curvature of large bottom irregularities by means of the method of a thin boundary layer in dimensionless orthogonal coordinates. The dynamics are described by a statically determinate system of equations, so the solution for stresses is found. For the general non-isothermal case the interrelated velocity and temperature distributions are calculated by means of the iteration of solutions for velocity and for temperature. Temperature distribution is determined by a parabolic equation with a small parameter at the senior derivative. Its solution is reduced to the solution of a system of recurrent non-uniform differential equations of the first order by means of a series expansion of the small parameter. A relatively thin conducting boundary layer adjoins the upper and lower surfaces of a glacier, playing the role of a temperature damper in the ablation area. For ice divides, the statically indeterminate problem is solved, so the result for stresses depends on the temperature distribution.

Résumé

Le modèle mathématique est construit pour des glaciers terrestres d'épaisseur très inférieure aux dimensions horizontales et que les rayons de courbures des grandes irrégularités du fond, par la méthode de la fine couche limite en coordonnées orthogonales sans dimensions. La dynamique est décrite par un système d'équations déterminé statique-ment, ainsi est résolu le problème des contraintes. Pour le cas général non isotherme, le calcul des distributions interdépendantes de la vitesse et de la température est réalisé par itération des solutions pour la vitesse et la température. La distribution de la température est déterminée par une équation parabolique avec un petit paramètre pour la dérivée seconde. La solution se ramène à la résolution d'un système d'équations différentielles non uniforme reccurentes du premier ordre par le biais d'un développement en série du petit paramètre. Une couche limite conductrice relativement mince s'ajoute aux surfaces supérieures et inférieures du glacier, jouant le rôle d'un égalisateur de température dans le zone d'ablation. Pour les crêtes de glaces, un problème statiquement indéterminé est résolu, si bien que les résultats sur les contraintes dépendent de la distribution de la température.

Zusammenfassung

Für Land-Gletscher, deren Dicke bedeutend geringer ist als ihre horizontalen Abmasse und die Krümmungsradien grosser Unregelmässigkeiten am Untergrund, wird mit Hilfe der Methode der dünnen Grenzschicht ein mathematisches Modell in dimensionslosen orthogonalen Koordinaten entworfen. Die Bewegungsvorgänge werden durch das statisch bestimmte Gleichungssystem erfasst, wobei sich die Lösung für den Spannungszustand ergibt. Für den allgemeinen nicht-isothermen Fall werden die gegenseitig abhängige Geschwindigkeit und Temperaturverteilung mit Hilfe von Iterationslösungen für Geschwindigkeit und Temperatur berechnet. Die Temperaturverteilung ergibt sich aus der parabolischen Gleichung mit einem kleinen Parameter für die bestimmende Ableitung. Ihre Lösung lässt sich durch Reihenentwicklung nach dem kleinen Parameter auf die Lösung des Systems rekurrenter nicht-uniformer Differentialgleichungen erster Ordnung reduzieren. Die Anpassung an die Oberfläche und den Untergrund eines Gletschers geschieht durch eine relativ dünne, leitende Grenzschicht, der die Rolle eines Temperaturdämpfers im Ablationsgebiet zukommt. Für Eisscheiden ist ein statisch unbestimmtes Problem zu lösen, wobei der Spannungszustand von der Temperaturverteilung abhängt.