Let $\omega ^*(n)$ be the number of primes p such that $p-1$ divides n. Recently, M. R. Murty and V. K. Murty proved that

$$ \begin{align*}x(\log\log x)^3\ll\sum_{n\le x}\omega^*(n)^2\ll x\log x.\end{align*} $$

They further conjectured that there is some positive constant C such that

$$ \begin{align*}\sum_{n\le x}\omega^*(n)^2\sim Cx\log x,\end{align*} $$

as $x\rightarrow \infty $ . In this short note, we give the correct order of the sum by showing that

$$ \begin{align*}\sum_{n\le x}\omega^*(n)^2\asymp x\log x.\end{align*} $$

We simultaneously generalize Silver’s perfect set theorem for co-analytic equivalence relations and Harrington-Marker-Shelah’s Dilworth-style perfect set theorem for Borel quasi-orders, establish the analogous theorem at the next definable cardinal, and give further generalizations under weaker definability conditions.

We study the expressive power of independence-friendly quantifier prefixes composed of universal $\left( {\forall x/X} \right)$, existential $\left( {\exists x/X} \right)$, and majority quantifiers $\left( {Mx/X} \right)$. We provide four quantifier prefixes that can express NP hard properties and show that all quantifier prefixes capable of expressing NP-hard properties embed at least one of these four quantifier prefixes. As for the quantifier prefixes that do not embed any of these four quantifier prefixes, we show that they are equivalent to a first-order quantifier prefix composed of $\forall x$, $\exists x$, and Mx. In unison, our results imply a dichotomy result: every independence-friendly quantifier prefix is either decidable in LOGSPACE or NP hard.

The local Langlands conjectures imply that to every generic supercuspidal irreducible representation of G2 over a p-adic field, one can associate a generic supercuspidal irreducible representation of either PGSp6 or PGL3. We prove this conjectural dichotomy, demonstrating a precise correspondence between certain representations of G2 and other representations of PGSp6 and PGL3. This correspondence arises from theta correspondences in E6 and E7, analysis of Shalika functionals, and spin L-functions. Our main result reduces the conjectural Langlands parameterization of generic supercuspidal irreducible representations of G2 to a single conjecture about the parameterization for PGSp 6.

For a time series, a plot of sample covariances is a popular way to assess its dependence properties. In this paper we give a systematic characterization of the asymptotic behavior of sample covariances of long-memory linear processes. Central and noncentral limit theorems are obtained for sample covariances with bounded as well as unbounded lags. It is shown that the limiting distribution depends in a very interesting way on the strength of dependence, the heavy-tailedness of the innovations, and the magnitude of the lags.

La découverte de la folie à double forme a conduit à la supposition que la dépression exprime une maladie. L’observation d’états dépressifs en relation plausible avec des expériences traumatisantes a suggéré l’existence de 2 groupes de troubles dépressifs à étiologie différente, l’un déterminé biologiquement, l’autre psychologiquement. Dans le domaine des dépressions sans origine organique démontrable, cette hypothèse a conduit à la dichotomie : dépression endogène-réactive/névrotique.

On a tenté de différencier ces 2 groupes à l’aide de détails de la symptomatologie, de la personnalité prémorbide, et des circonstances de leur apparition et de leur évolution. Cette séparation catégorielle traditionnelle a souventété mise en question en se basant sur le fait que la plupart des analyses statistiques n’ont pas démontré une distribution bimodale des états dépressifs. La possibilité que des artefacts méthodologiques puissent, soit produire une fausse, soit obscurcir une réelle bimodalité, anime toujours encore les controverses scientifiques. Ainsi, les uns prônent que les dépressions de type endogène et réactive/névrotique ne représentent que différents degrés de sévérité situés sur un même continuum passant sans interruption à la normalité. Ce point de vue, également soutenu par le DSM III-R et le projet de la CIM-IO, a souvent recours à un modèle de vulnérabilité analogue à celui fréquemment mis en avant pour la schizophrénie. Les autres défendent l’approche catégorielle et soulignent que la sévérité n’importe pas dans la séparation des 2 groupes. Parmi le deuxième groupe de chercheurs, certains soutiennent leur opinion à l’appui d’analyses statistiques qui, bien qu’elles ne parviennent pas à identifier un facteur réactif/névrotique distinct, révèlent d’une façon assez convaincante l’existence d’un «profil d’items dépressifs endogènes». D’autres sont de l’avis que la symptomatologie n’est pas souhaitable pour établir des distinctions catégorielles. A ces fins, ils recourent à des marqueurs biologiques, notamment des modifications de biorythmes ou aux particularités du cours de la maladie. L’état actuel de ces discussions est exposé.