Le lemme d’Ornstein–Weiss d’après Gromov

Summary

Dans cette note on démontre un théorème de convergence pour les fonctions sous-additives invariantes définies sur les parties finies d’un groupe dénombrable moyennable. Ce théorème peut être déduit d’un résultat général dû à D. S. Ornstein et B. Weiss. La démonstration que l’on présente ici suit une preuve esquissée par M. Gromov.

Soit G un groupe dénombrable. On note 𝒫(G) l’ensemble des parties de G.

Une démonstration de ce résultat (énoncé avec des hypothèses plus fortes sur la fonction h) à partir d’un théorème dû à Ornstein et Weiss sur les quasi-pavages [OrW, Section I.2, Th. 6] se trouve dans [LiW, Th. 6.1]. Dans [Gro, Section 1.3], Gromov esquisse une preuve directe du théorème 1.1 en laissant au lecteur la vérification de certains passages. Il utilise des notions introduites par Ornstein et Weiss dans [OrW]. La démonstration qui est présentée ici suit l’approche de Gromov.