269 - ANALYSE MATHÉMATIQUE. – Mémoire sur les fonctions complémentaires

Summary

Considérons, avec une variable réelle ou imaginaire, une fonction qui ne cesse d'être continue que pour certaines valeurs de la variable auxquelles correspondent des résidus déterminés. Si, d'ailleurs, pour toute valeur infinie de la variable, le produit de la variable par la fonction s'évanouit, le résidu intégral de la fonction s'évanouira paredlement.

De ce principe fondamental du calcul des résidus on déduit sans peine, comme je l'ai déjà observé, les deux théorèmes suivants, dont le premier est un cas particulier d'une proposition plus générale, énoncée dans le II^e Volume de mes Exercices de Mathématiques:

Théoréme 1. – Si, pour toute valeur finie d'une variable réelle ou imaginaire z, une fonction de z reste toujours continue, par conséquent toujours finie; si d'ailleurs, pour toute valeur infinie de la variable z, le produit de cette variable par la fonction se réduit à une constante déterminée, la fonction elle-même se reduira simplement à cette constante.

Théoréme II. – Si une fonction d'une variable réelle ou imaginaire z reste toujours continue, par conséquent toujours finie pour des valeurs finies de z, et si d'ailleurs cette fonction ne cesse pas d'être finie, même pour des valeurs infinies de z, elle se réduira simplement à une constante.