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MM. Borel, Tits, Zil′ber et le Général Nonsense

Published online by Cambridge University Press:  12 March 2014

Bruno Poizat
Bruno Poizat*
Affiliation:
82, Rue Racine, 69100 Villeurbanne, France, Université Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France
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Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles.

Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie.

Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.

Type
Research Article
Information
The Journal of Symbolic Logic , Volume 53 , Issue 1 , March 1988 , pp. 124 - 131
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1988

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References

REFÉRÉNCES

[Borel-Tits 1973] Borel, Armand and Tits, Jacques, Homomorphismes abstraits de groupes algébriques simples, Annals of Mathematics, ser. 2, vol. 97, pp. 499–571.CrossRefGoogle Scholar
[Borovik-Poizat 198?] Borovik, A. V. and Poizat, Bruno, Mauvais groupes(in Russian), Sibirskiĭ Matematičeskii Žurnal (soumis); English translation, Siberian Mathematical Journal (to appear).Google Scholar
[Cherlin 1979] Cherlin, Gregory, Groups of small Morley rank, Annals of Mathematical Logic, vol. 17, pp. 1–28.CrossRefGoogle Scholar
[van den Dries 1982] van den Dries, Lou, Definable groups in characteristic 0 are algebraic groups, Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society, vol. 3, p. 412.Google Scholar
[Hrushovski 1986] Hrushovski, Ehud, Contributions to stable model theory, Ph.D. thesis, University of California, Berkeley, California.Google Scholar
[Humphreys 1975] Humphreys, James E., Linear algebraic groups, Springer-Verlag, Berlin.CrossRefGoogle Scholar
[Lascar 1985] Lascar, Daniel, Les groupes ω-stables de rang fini, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 292, pp. 451–462.Google Scholar
[Nesin 198?] Nesin, Ali, Ph.D. thesis, Yale University, New Haven, Connecticut.Google Scholar
[Poizat 1983] Poizat, Bruno, Une théorie de Galois imaginaire, this Journal, vol. 48, pp. 1151–1170.Google Scholar
[Poizat 1985] Poizat, Bruno, Poizat, Bruno, Théorie des modèles, Nur al-Mantiq wal-Ma’rifah, Villeurbanne.Google Scholar
[Poizat 1987] Poizat, Bruno, Poizat, Bruno, Groupes stables, Nur al-Mantiq wal-Ma’rifah, Villeurbanne.Google Scholar
[Poizat 1988] Poizat, Bruno, Poizat, Bruno, Missionary mathematics, this Journal, vol. 53, pp. 132–145.Google Scholar
[Rosenlicht 1956] Rosenlicht, Maxwell, Some basic theorems on algebraic groups, American Journal of Mathematics, vol. 78, pp. 401–443.Google Scholar
[Serre 1961] Serre, Jean-Pierre, Groupes pro-algébriques, Institut des Hautes Études Scientifiques, Publications Mathématiques, no. 7.Google Scholar
[Springer 1981] Springer, T. A., Linear algebraic groups, Birkhäuser, Basel.Google Scholar
[Weil 1955] Weil, André, On algebraic groups of transformations, American Journal of Mathematics, vol. 77, pp. 355–391.Google Scholar
[Zil′ber 1977] Zil′ber, B. I., Groupes et anneaux de théorie catégorique (in Russian), Fundamenta Mathematicae, vol. 95, pp. 173–188.Google Scholar
[Zil′ber 1984] Zil′ber, B. I., Some model theory of simple algebraic groups over algebraically closed fields, Colloquium Mathematicum, vol. 48, pp. 173–180.Google Scholar