We prove that the classical map comparing Adams’ cobar construction on the singular chains of a pointed space and the singular cubical chains on its based loop space is a quasi-isomorphism preserving explicitly defined monoidal $E_\infty $-coalgebra structures. This contribution extends to its ultimate conclusion a result of Baues, stating that Adams’ map preserves monoidal coalgebra structures.

During the last decades, the structure of mod-2 cohomology of the Steenrod ring $\mathscr {A}$ became a major subject in Algebraic topology. One of the most direct attempt in studying this cohomology by means of modular representations of the general linear groups was the surprising work [Math. Z. 202 (1989), 493–523] by William Singer, which introduced a homomorphism, the so-called algebraic transfer, mapping from the coinvariants of certain representation of the general linear group to mod-2 cohomology group of the ring $\mathscr A.$ He conjectured that this transfer is a monomorphism. In this work, we prove Singer's conjecture for homological degree $4.$

Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ quelconque. Nous définissons la catégorie des $k$-algèbres de cochaînes fortement quasi-commutatives et nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que l’algèbre de cohomologie à coefficients dans ${{\text{Z}}_{2}}$ d’un objet de cette catégorie soit un module instable sur l’algèbre de Steenrod à coefficients dans ${{\text{Z}}_{2}}$.

A tout c.w. complexe simplement connexe de type fini $X$ on associe une $k$-algèbre de cochaînes fortement quasi-commutative; la structure de module sur l’algèbre de Steenrod définie sur l’algèbre de cohomologie de celle-ci coïncide avec celle de ${{H}^{*}}(X;\,{{\text{Z}}_{2}})$.