Soient G = exp ${\frak g}$ un groupe de Lie résoluble exponentiel et H = exp ${\frak h}$ un sous-groupe connexe de G. Soient χ un caractère unitaire de H et τ = ${\rm Ind}_{H}^{G}$χ. Soit Dτ(G/H) l'algèbre des opérateurs différentiels G-invariants sur G/H. Une question posée par Duflo et Corwin-Greenleaf consiste à voir si la finitude des multiplicités de τ est équivalente à la commutativité de Dτ(G/H). Nous répondons positivement à cette question quand H est normal dans G. Lorsque H n'est pas normal, nous préparons le terrain pour d'espaces homogènes nilpotents et nous répondons à la question dans différents cas. Nous étudions finalement l'algèbre Dπ(G)H, π∈Ĝ des opérateurs différentiels qui laissent l'espace des vecteurs C∞ de π invariant et qui commuttent avec l'action de H sur cet espace.

Let $G$ be a solvable exponential Lie group. We characterize all the continuous topologically irreducible bounded representations $(T,\mathcal{U})$ of $G$ on a Banach space $\mathcal{U}$ by giving a $G$-orbit in ${{n}^{*}}$ ($\mathfrak{n}$ being the nilradical of $\mathfrak{g}$), a topologically irreducible representation of ${{L}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}},\,\,\omega )$ , for a certain weight $\omega $ and a certain $n\,\in \,\mathbb{N}$, and a topologically simple extension norm. If $G$ is not symmetric, i.e., if the weight $\omega $ is exponential, we get a new type of representations which are fundamentally different from the induced representations.

We study a family of K3 surfaces which have a big automorphism group. We begin with generalisations of Silverman's results: construction of canonical heights, density of rational points in one orbit,… We continue the study in estimating the density of rational points on the orbiting rational curves; this estimate is compatible with Batyrev–Manin conjecture. Moreover we settle, under more geometric hypothesis, the number of rational points of such surfaces of bounded height.